Środek ciężkości

Dwa ciała o jednakowych masach krążące wokół wspólnego barycentrum.

Dwa ciała o zbliżonych masach krążące wokół wspólnego barycentrum (np. Pluton i Charon).

Dwa ciała o dużej różnicy mas, krążące wokół wspólnego barycentrum.

Dwa ciała o bardzo dużej różnicy mas, krążące wokół wspólnego barycentrum (np. Ziemia i Księżyc).

Barycentrum Układu Słonecznego w latach 1945 - 1995

Środek ciężkości (barycentrum) ciała lub układu ciał jest punktem, w którym przyłożona jest wypadkowa siła ciężkości danego ciała.

Dla ciała znajdującego się w jednorodnym polu grawitacyjnym środek ciężkości pokrywa się ze środkiem masy dlatego pojęcia te często są mylone lub wręcz utożsamiane. W geometrii (w tym stereometrii) pojęcie środka ciężkości jest synonimem środka masy.

Znajdowanie środka ciężkości

Dla ciał dających się przedstawić (dokładnie lub z wystarczającym przybliżeniem) w postaci skończonego lub co najwyżej przeliczalnego zbioru mas punktowych, środek ciężkości znajduje się, obliczając punkt przyłożenia wypadkowej siły ciężkości działającej na ciało. Dane ciało dzieli się na elementy o masach $m_k, k=1, 2, 3 \dots$ (niekoniecznie równych), z każdym elementem wiąże się wektor $\vec r_k$, reprezentujący jego położenie w obranym układzie współrzędnych oraz wartość $g(\vec{r_k})$ przyspieszenia grawitacyjnego działającego w punkcie $\vec r_k$. Wówczas środek ciężkości ciała wyraża się przez:

$\vec r_0={{\sum_k m_k g(r_k)\vec r_k}\over{\sum_k m_k g(r_k)}}$

W polu grawitacyjnym jednorodnym wszystkie $g(r_k)$ są równe, zatem wzór powyższy po skróceniu upraszcza się do postaci:

$\vec r_0={{\sum_k m_k \vec r_k}\over{\sum_k m_k}}$

Suma w mianowniku wyraża masę ciała zaś obliczony środek ciężkości jest w tym przypadku tożsamy ze środkiem masy.

Powyższa zależność dla ciał ciągłych, zapisana w postaci wyrażeń całkowych, wiąże środek masy z rozkładem gęstości $\rho$ w przestrzeni za pomocą zależności:

$\vec r_0={1 \over M} \int\limits_V \rho \vec r d V$

w której M oznacza masę ciała, obliczaną jako całka z jego gęstości:

$M=\int\limits_V \rho dV\,$

a całkowanie zachodzi po całej objętości V ciała, przy czym:

• $\vec r_0$ to wektor środka masy;

• M to masa ciała;
• V to objętość ciała;
• $\rho=\rho(x,y,z)$ to funkcja gęstości ciała

Jeżeli ciało zawiesić nieruchomo na nici, to środek ciężkości znajduje się na przedłużeniu nici.

Astronomia

Dla układu Ziemia - Księżyc barycentrum znajduje się około 4600 km od środka Ziemi. Natomiast dla układu Słońce - Ziemia znajduje się ono około 450 km od środka Słońca. Układ Słońce - Jowisz ma barycentrum około 742 300 km od środka Słońca. W przypadku całego układu planetarnego nie ma stałego barycentrum ze względu na różne ułożenie planet wzg. siebie i Słońca.

Położenie barycentrum dwóch ciał można obliczyć ze wzoru:

$r_1 = r_{\rm tot} {m_2 \over m_1 + m_2}$

gdzie r₁ to odległość ciała 1 od barycentrum, r_tot to odległość między ciałami, a m₁ i m₂ to masy ciał.

Dwa ciała o jednakowych masach krążące po orbitach eliptycznych wokół wspólnego barycentrum (układ potencjalnie niestabilny).

Zobacz też

• Środek masy
• Średnia ważona
• Średnia arytmetyczna