Środkowa trójkąta

Środkowe w trójkącie oznaczone kolorem czerwonym.

Środkowa trójkąta – odcinek łączący wierzchołek trójkąta ze środkiem przeciwległego boku; czasem tak nazywa się też prostą zawierającą ten odcinek. Trójkąt ma trzy różne środkowe.

Każda ze środkowych dzieli trójkąt na dwie części o równych polach. Korzystając z twierdzenia Carnota można dowieść, że w trójkącie o bokach $a, b, c$, długość środkowej $d$ opadającej na bok $c$ wynosi:

$d = \tfrac{1}{2} \sqrt{ 2a^2 + 2b^2 - c^2}$

Uwaga: Środkowej trójkąta nie należy mylić z linią środkową łączącą środki dwóch boków trójkąta.

Twierdzenie

Wektory wyznaczające środkowe przecinają się w jednym punkcie

Środkowe trójkąta przecinają się w jednym punkcie. Dzieli on każdą z nich w stosunku 2:1 licząc od wierzchołka.

Dowód

Na mocy własności równoległoboku środkowe trójkąta abc wyprowadzone z wierzchołków a, b i c są wyznaczone przez wektory odpowiednio:

$\tfrac{\overrightarrow\mathrm{ab}+\overrightarrow\mathrm{ac}}{2}, \quad \tfrac{\overrightarrow\mathrm{ba}+\overrightarrow\mathrm{bc}}{2}, \quad \tfrac{\overrightarrow\mathrm{ca}+\overrightarrow\mathrm{cb}}{2}$

Można dowieść, że koniec pierwszego wektora odpowiednio skróconego tj. wektora

$\tfrac{2}{3}\cdot\tfrac{\overrightarrow\mathrm{ab}+\overrightarrow\mathrm{ac}}{2}$

należy do drugiej i trzeciej środkowej jednocześnie (a więc pokrywa się z punktem ich przecięcia).

Korzystając z zależności

$\overrightarrow\mathrm{ab}+\overrightarrow\mathrm{bc}+\overrightarrow\mathrm{ca}=0$

otrzymuje się

$\overrightarrow\mathrm{ba}+ \tfrac{2}{3}\cdot\tfrac{\overrightarrow\mathrm{ab}+\overrightarrow\mathrm{ac}}{2}= \tfrac{2\overrightarrow\mathrm{ba}+\overrightarrow\mathrm{ac}}{3}= \tfrac{2\overrightarrow\mathrm{ba}+(\overrightarrow\mathrm{ab}+\overrightarrow\mathrm{bc})}{3}= \tfrac{2}{3}\cdot\tfrac{\overrightarrow\mathrm{ba}+\overrightarrow\mathrm{bc}}{2}$

oraz

$\overrightarrow\mathrm{ca}+ \tfrac{2}{3}\cdot\tfrac{\overrightarrow\mathrm{ab}+\overrightarrow\mathrm{ac}}{2}= \tfrac{2\overrightarrow\mathrm{ca}+\overrightarrow\mathrm{ab}}{3}= \tfrac{2\overrightarrow\mathrm{ca}+(\overrightarrow\mathrm{ac}+\overrightarrow\mathrm{cb})}{3}= \tfrac{2}{3}\cdot\tfrac{\overrightarrow\mathrm{ca}+\overrightarrow\mathrm{cb}}{2}$

Uwaga

Dowiedziona własność ma charakter afiniczny, ponieważ środkowa trójkąta i przecięcie środkowych są niezmiennikami przekształceń afinicznych. Twierdzenie to jest więc twierdzeniem geometrii afinicznej.

Afiniczność wynika m.in. z tego, że w dowodzie starannie unikano takich pojęć jak prostopadłość, kąt, przystawanie nierównoległych odcinków, pole (w konwencji wektorowej wystarczyło nie używać iloczynu skalarnego).

Użyto natomiast pojęcia równoległości prostych (np. poprzez stosowanie pojęcia wektora swobodnego) oraz twierdzenie Talesa (np. stosunek podziału odcinka). Kryje się za tym aksjomat Euklidesa.

Zatem na gruncie geometrii afinicznej postulat Euklidesa jest równoważny twierdzeniu o środkowych trójkąta. W konsekwencji, we wszystkich geometriach zmetryzowanych, w których spełniony jest aksjomat Euklidesa (geometria euklidesowa), twierdzenie o środkowych także zachodzi, a w teorii, w której pojawia się jego zaprzeczenie (geometria hiperboliczna) twierdzenie to nie zachodzi. Nie zachodzi także (ale z nieco innych powodów) w geometrii eliptycznej. Porównaj twierdzenia o przecinaniu się wysokości, symetralnych i dwusiecznych trójkąta zachodzące w każdej z trzech wspomnianych geometrii.

Punkt przecięcia środkowych w ujęciu analitycznym

Równanie wektorowe

Jeśli mamy trójkąt o wierzchołkach a, b i c to przecięcie środkowych jest punktem x spełniającym równanie:

$\overrightarrow\mathrm{ax}+\overrightarrow\mathrm{bx}+\overrightarrow\mathrm{cx} = 0$

Wyznaczenie przez wektor wodzący

Jeśli a,b,c są wektorami wodzącymi wierzchołków trójkąta to przecięcie środkowych ma wektor wodzący postaci:

$\frac{a+b+c}{3}$

Uwaga

Oba powyższe wzory łatwo wywnioskować z twierdzenia o przecinaniu się środkowych trójkąta.

Punkt przecięcia środkowych jako środek ciężkości

Punkt przecięcia się środkowych jest środkiem ciężkości trójkąta (barycentrum). Oznacza to, że jako punkt podparcia jest on punktem równowagi przy założeniu, że masa w trójkącie jest rozłożona równomiernie (każde dwie części o jednakowym polu ważą tyle samo). Biorąc pod uwagę drugi ze wzorów z poprzedniej sekcji i jego identyczność z fizycznym środkiem ciężkości trzech punktów materialnych można stwierdzić, że z punktu widzenia statyki fizyczny trójkąt zachowuje się więc tak, jakby jego masa była skupiona po równo w jego wierzchołkach.