Aksjomaty Zermelo-Fraenkela

Aksjomaty Zermelo-Fraenkela, w skrócie: aksjomaty ZF – powszechnie przyjmowany system aksjomatów zaproponowany przez Ernsta Zermelo w 1904 roku, który został później uzupełniony przez Abrahama Fraenkel'a.

Dodając do ZF aksjomat wyboru, bądź zdanie mu równoważne, otrzymuje się teorię ZFC (w j.ang. wybór to Choice).

Historia

w 1908 r. Ernst Zermelo zaproponował pierwszy zestaw aksjomatów teorii mnogości – teorię mnogości Zermelo. Ta aksjomatyczna teoria nie umożliwiała konstrukcji liczb porządkowych. Choć większość „zwykłej matematyki” można wyprowadzić bez ich używania, to jednak liczby porządkowe są nieodzowne w większości badań teorio-mnogościowych. Ponadto, jeden z aksjomatów Zermelo odwoływał się do bliżej niewyjaśnionego pojęcia „określonej” właściwości. W 1922 r. Abraham Fraenkel i Thoralf Skolem, niezależnie, zaproponowali uściślenie pojęcia „określoności” właściwości jako takich, które mogą zostać sformułowane w rachunku predykatów z równością, w którym jedynym symbolem spoza logiki jest binarny predykat należenia do, oznaczany symbolem ∈. Również niezależnie od siebie, zaproponowali oni zastąpienie aksjomatu podzbiorów przez aksjomat zastępowania. Przez zastosowanie wspomnianego schematu oraz dodanie aksjomatu regularności, zaproponowanego przez Zermelo w 1930 roku, do teorii mnogości Zermelo, otrzymuje się teorię ZF. Dodając do ZF aksjomat wyboru, bądź zdanie mu równoważne, otrzymuje się teorię ZFC.

Aksjomaty Zermelo-Fraenkela

Aksjomat ekstensjonalności

Jeżeli zbiory $a$ i $b$ mają te same elementy, to są identyczne:

$\forall a\; \forall b\; \left(\forall x\; (x \in a \Leftrightarrow x \in b) \Rightarrow a = b\right)$

Aksjomat zbioru pustego

Istnieje zbiór, który nie ma żadnego elementu:

$\exist x\; \forall y\; \neg(y \in x)$

Na mocy aksjomatu ekstensjonalności istnieje tylko jeden zbiór posiadający taką właściwość – zbiór pusty, oznaczany symbolem $\emptyset$

Aksjomat podzbiorów

Inne nazwy: aksjomat wyróżniania, aksjomat wycinania.

Dla każdego zbioru $b$ istnieje zbiór $a$, złożony z tych i tylko tych elementów $x$ zbioru $b$, które mają własność $\varphi$:

$\forall p_1 \dots \forall p_n\; \forall b\; \exist a\; \forall x\; \bigg(x \in a \Leftrightarrow \Big(x \in b \and \varphi(x, b, p_1, \dots , p_n)\Big) \bigg)$

Aksjomat podzbiorów daje się wyprowadzić z aksjomatu zbioru pustego i aksjomatu zastępowania.

Aksjomat pary

Dla dowolnych zbiorów $a$ i $b$ istnieje zbiór $c$, którego elementami są dokładnie zbiory $a$ oraz $b$:

$\forall a\; \forall b\; \exist c\; \forall x\; \Big(x \in c \Leftrightarrow (x = a \or x = b)\Big)$

Aksjomat sumy

Dla dowolnej rodziny zbiorów $r$ istnieje zbiór $u$, do którego należą dokładnie te elementy $x$, które należą do co najmniej jednego spośród zbiorów, które są elementami rodziny $r$:

$\forall r\; \exist u\; \forall x\; \Big(x \in u \Leftrightarrow \exist a\; (x \in a \and a \in r)\Big)$

Aksjomat zbioru potęgowego

Dla każdego zbioru $x$ istnieje zbiór $p$, którego elementami są dokładnie podzbiory zbioru $x$:

$\forall x\; \exist p\; \forall z\; \Big(z \in p \Leftrightarrow \forall y\; (y \in z \Rightarrow y \in x)\Big)$

Aksjomat nieskończoności

Istnieje zbiór induktywny:

$\exist x\; \Bigg(\exist y\; \Big(y \in x \and \forall z\; \neg(z \in y)\Big)$

$\and \forall y \bigg( y\in x\Rightarrow \exist z\; \Big(z \in x \and \forall x\; \big(x \in z \Leftrightarrow (x \in y \or x = y)\big)\Big)\bigg)\Bigg)$

Istnieje wiele takich zbiorów.

Część wspólna wszystkich takich zbiorów jest najmniejszym zbiorem o tych właściwościach i określa zbiór liczb naturalnych.

Aksjomat wyboru

Dla dowolnej indeksowanej rodziny niepustych zbiorów $\langle a_i\colon i \in i \rangle$ istnieje funkcja wyboru:

$\ (f:i\rightarrow \bigcup_{i\in i} a_i)$ taka, że:

$f(i)\in a_i$ dla wszystkich $i\in i$

$\forall r\; \Bigg(\forall a\; (a \in r \Rightarrow a \neq \emptyset)$

$\and \forall a\; \forall b\; \bigg(\Big(a \in r \and b \in r \and a \neq b\Big) \Rightarrow \neg\Big(\exist x\; (x \in a \and x\in b)\Big)\bigg)$

$\Rightarrow \exist s\; \forall a\; \Big(a \in r \Rightarrow \exist! y\; (y \in s \and y \in a)\Big)\Bigg)$

przy czym: $\exist! y\; w(y) \Leftrightarrow ((\exist y)(\forall x)\; \left(w(x) \Leftrightarrow x = y\right))$

Za pomocą pozostałych aksjomatów można udowodnić równoważność tego aksjomatu z lematem Kuratowskiego-Zorna oraz twierdzeniem, że w każdym zbiorze istnieje relacja dobrego porządku.

Aksjomat zastępowania

Aksjomat podzbiorów jest jego słabszą wersją.

Jeżeli dla każdego $x$ istnieje dokładnie jeden $y$, dla którego zachodzi $\Theta (x,y)$, to dla dowolnego zbioru $x$ istnieje taki zbiór $y$, że:

$\forall y\; \bigg(y \in y \Leftrightarrow \exist x\in x\; \Big(\Theta(x,y)\Big)\bigg)$

$\forall p_1 \dots \forall p_n\; \forall x\; \Bigg(\forall x\; \exist! y\; \Theta(x, y, x, p_1, \dots , p_n)$

$\Rightarrow \exist y\; \forall y\; \bigg(y \in y \Leftrightarrow \exist x\; \Big(x \in x \and \Theta(x, y, x, p_1, \dots, p_n) \Big)\bigg)\Bigg)$

przy czym: $\exist! y\; w(y) \Leftrightarrow ((\exist y)(\forall x)\; \left(w(x) \Leftrightarrow x = y\right))$

Aksjomat regularności

Inna nazwa: aksjomat ufundowania.

Każdy niepusty zbiór $x$ ma element rozłączny z $x$:

$\forall x\; \Bigg(x \neq \emptyset \Rightarrow \exist y\; \bigg(y \in x \and \neg\Big(\exist z\; (z \in x \and z \in y)\Big)\bigg)\Bigg)$

Jest on niezależny od pozostałych aksjomatów. Rozważane są teorie, w których jako aksjomat przyjmuje się jego negację. Występujące w takich teoriach nieufundowane zbiory noszą nazwę hiperzbiorów.

Bibliografia

• Wojciech Guzicki, Piotr Zakrzewski: Wykłady ze wstępu do matematyki: wprowadzenie do teorii mnogości. Warszawa: PWN, 2005. ISBN 83-01-14415-7. 
• Agnieszka Wojciechowska: Elementy logiki i teorii mnogości. Warszawa: PWN, 1979. ISBN 83-01-00756-7. 

Zobacz też

• Aksjomaty teorii mnogości