Algebra Banacha

Algebra Banacha – przestrzeń Banacha z określonym dodatkowym działaniem mnożenia wraz z którym tworzy algebrę nad ciałem liczb rzeczywistych bądź zespolonych oraz spełnia warunek

$\|x\cdot y\| \leqslant \|x\| \|y\|$

dla wszystkich jej elementów $x,y$. Definicja ta ma również sens dla przestrzeni unormowanych, które niekoniecznie są zupełne - w takim przypadku mówi się o algebrach unormowanych. Jeżeli działanie mnożenia jest przemienne to mówi się odpowiednio o przemiennych algebrach unormowanych i przemiennych algebrach Banacha.

W ogólnym przypadku, algebra nad ciałem liczb zespolonych może nie mieć jedynki - skrajnym przykładem jest dowolna przestrzeń liniowa $A$ z mnożeniem określonym wzorem $xy = 0$ dla dowolnych $x, y \in A$ (jeżeli $A$ jest przestrzenią Banacha, to jest ona przykładem algebry Banacha, w której jedynka nie może być aproksymowana - tzn. nie istnieje ciąg $(e_n)_{n\in \mathbb{N}}$ o wyrazach z przestrzeni A o tej własności, że $\|e_n\|=1$ dla każdej liczby naturalnej n oraz

$\lim_{n \to \infty}~\|e_n \cdot a - a\| = \lim_{n\to\infty}~\|a \cdot e_n - a\| = 0,\; a\in A$.

Pojęcie algebry Banacha wprowadził w 1936 roku Mitio Nagumo.

Przykłady

• Niech $E$ będzie przestrzenią Banacha i niech $B(E)$ oznacza algebrę wszystkich operatorów ograniczonych przestrzeni $E$ ze składaniem jako mnożeniem. Wówczas $E$ jest algebrą Banacha z jedynką (jedynką jest w tym wypadku operator identycznościowy).
• Jeżeli $X$ jest zwartą przestrzenią Hausdorffa to przestrzeń $C(X)$ wszystkich funkcji ciągłych o wartościach zespolonych na $X$ z działaniami dodawania i mnożenia określonymi punktowo i normą supremum jest algebrą Banacha z jedynką.
• Niech $L^1(\mathbb R)$ oznacza przestrzeń funkcji całkowalnych w sensie Lebesgue'a na prostej z mnożeniem określonym przez splot, tj.

  $(f * g)(x) = \int\limits_{-\infty}^\infty f(t) g(x-t) dt,\; f,g\in L^1(\mathbb R)$.

Jest to przykład algebry Banacha bez jedynki, którą jednak można aproksymować w takim sensie, iż istnieje ciąg $(e_n)_{n\in \mathbb{N}}$ o wyrazach z przestrzeni $L^1(\mathbb R)$ o tej własności, że $\|e_n\|=1$ dla każdej liczby naturalnej $n$ oraz

$\lim_{n \to \infty}~\|e_n * f - f\| = \lim_{n\to\infty}~\|f * e_n - f\| = 0$

dla każdej funkcji $f\in L^1(\mathbb{R})$. Ogólniej, dla każdej lokalnie zwartej grupy topologicznej Hausdorffa z określoną na niej miarą Haara $\mu,$ przestrzeń $L^1(G)$ funkcji $\mu$-całkowalnych na $G$ z działaniem mnożenia splotowego określonego niżej jest algebrą Banacha:

$(xy)(g) = \int\limits_G x(h) y\left(h^{-1}g\right) d\mu(h),\; x, y \in L^1(G).$

• Przykładem skończenie wymiarowej algebry Banacha jest przestrzeń macierzy kwadratowych stopnia $n$ z działaniem zwykłego mnożenia macierzy i dowolną normą macierzową, np. daną wzorem

$\bigl\|(a_{ij})\bigr\|=\sum_{i,j=1}^n |a_{ij}|.$

• Kwaterniony tworzą 4-wymiarową algebrę Banacha z normą daną przez ich moduł.
• Algebra Wienera.
• Każda C*-algebra jest algebrą Banacha.

Bibliografia

1. William Arveson: A Short Course on Spectral Theory. Nowy Jork: Springer-Verlag, 2001.