Algebra centralna prosta

Algebra centralna prosta (algebra Brauera, z ang. również CSA) nad ciałem $K$ – w teorii pierścieni i powiązanych gałęziach matematyki skończeniewymiarowa prosta algebra łączna, której centrum jest $K$. Innymi słowy, każda algebra prosta jest algebrą centralną prostą nad swoim centrum. Nazwa alternatywna pochodzi od nazwiska Richarda Brauera.

Przykłady

• Liczby zespolone $\mathbb C$ tworzą algebrę centralną prostą nad sobą, ale nie nad liczbami rzeczywistymi $\mathbb R$ (centrum $\mathbb C$ są wszystkie elementy $\mathbb C$, a nie tylko $\mathbb R$).
• Kwaterniony $\mathbb H$ są czterowymiarową algebrą centralną prostą nad $\mathbb R$.

Pojęcia

Zgodnie z twierdzeniem Artina–Wedderburna algebra prosta $A$ jest izomorfczna z algebrą macierzy $M(n, S)$ dla pewnego pierścienia z dzieleniem $S$. Dane dwie algebry proste $A \simeq M(n, S)$ oraz $B \simeq M(m, T)$ nad tym samym ciałem $K$ nazywa się podobnymi (równoważnymi w sensie Brauera), jeżeli ich pierścienie z dzieleniem $S$ oraz $T$ są izomorficzne. Zbiór wszystkich klas równoważności algebr centralnych prostych nad ciałem $K$, ze względu na wspomnianą relację równoważności, może być wyposażony w działanie grupowe dane przez iloczyn tensorowy algebr. Otrzymana grupa nazywana jest grupą Brauera $\operatorname{Br}(K)$ nad ciałem $K$.

Własności

• Każdy automorfizm algebry centralnej prostej jest automorfizmem wewnętrznym (wynika z twierdzenia Skolema-Noether).
• Jeżeli $S$ jest prostą podalgebrą algebry centralnej prostej $A$, to $\dim_F S$ dzieli $\dim_F A$.
• Każda czterowymiarowa algebra centralna prosta nad ciałem $K$ jest izomorficzna z algebrą kwaternionów; faktycznie, jest to albo algebra macierzy wymiaru $2 \times 2$ albo algebra z dzieleniem.

Zobacz też

• grupa Brauera
• rozmaitość Severiego-Brauera