Algebra nad ciałem

Algebra nad ciałem a. algebra liniowa – w algebrze liniowej przestrzeń liniowa wyposażona w dwuliniowe (wewnętrzne) działanie dwuargumentowe, nazywane mnożeniem (wektorów), które czyni z niej pierścień.

Definicja

Niech $X$ będzie przestrzenią liniową nad ciałem $K.$ Jeżeli dane jest działanie dwuargumentowe $X \times X \to X$ mnożenia wektorów (oznaczone niżej przez zestawienie argumentów), które dla dowolnych $\mathbf x, \mathbf y, \mathbf z \in X$ oraz $a \in K$ spełnia warunki

• lewostronnej i prawostronnej rozdzielności względem dodawania wektorów,

  $(\mathbf x \bold+ \mathbf y)\mathbf z = \mathbf{xz} \bold+ \mathbf{yz},$

  $\mathbf x(\mathbf y \bold+ \mathbf z) = \mathbf{xy} \bold+ \mathbf{xz},$

• zgodności z działaniem mnożenia przez skalary,

  $a(\mathbf{xy}) = (a\mathbf x)\mathbf y = \mathbf x(a \mathbf y),$

to $X$ z tak wprowadzoną strukturą nazywa się algebrą nad ciałem $K$ bądź $K$-algebrą.

Jeżeli mnożenie wektorów jest przemienne (tworzy pierścień przemienny, wtedy warunki lewo- i prawostronnej rozdzielności są równoważne), to algebrę $X$ nazywa się przemienną. Jeśli działanie to ma element neutralny różny od elementu zerowego $\mathbf 0$ (pierścień ma jedynkę i jest przy tym nietrywialny), to o algebrze $X$ mówi się, że jest z jednością. Jeżeli każdy niezerowy element algebry z jednością jest odwracalny (przypadek pierścienia z dzieleniem), to mówi się wtedy o algebrze z dzieleniem. Przemienna algebra z dzieleniem tworzy ciało.

Pojęcia

Bazą algebry $X$ nazywa się bazę przestrzeni liniowej $X,$ podobnie wymiarem algebry $X$ jest wymiar przestrzeni $X.$ Podalgebrą algebry $X$ nazywa się taką jej podprzestrzeń liniową $Y,$ która jest zarazem podpierścieniem pierścienia $X,$ a więc wraz z dwoma elementami $\mathbf y, \mathbf z \in Y$ należą do niej również elementy $\mathbf{yz}$ oraz $\mathbf{zy}.$ Lewostronnym, lub odpowiednio prawostronnym, ideałem algebry nazywa się taką jej podprzestrzeń liniową $Y,$ która jest lewostronnym, lub odpowiednio prawostronnym, ideałem pierścienia $X,$ a więc w której dla $\mathbf y \in Y$ oraz $\mathbf x \in X$ element $\mathbf{yx} \in Y,$ bądź odpowiednio $\mathbf{xy} \in Y.$

Przykłady

• Dowolne ciało tworzy algebrę nad samym sobą (w tym ciało liczb zespolonych).
• Nieprzemienna algebra kwaternionów (pierścień z dzieleniem).
• Każde rozszerzenie ciała $L \supseteq K$ może być traktowane jako $K$-algebra przemienna z mnożeniem zewnętrznym elementów z $L$ przez elementy z $K$ zdefiniowanym jako zawężenie mnożenia $\cdot\colon L \times L\to L$ do $\cdot|_K\colon K \times L \to L.$
• Algebra macierzy, tzn. zbiór macierzy kwadratowych stopnia $n$ nad ustalonym ciałem z dodawaniem i mnożeniem (Cauchy'ego) oraz mnożeniem macierzy przez skalar, jest nieprzemienną algebrą nad ciałem wymiaru $n^2.$
• Ogólniej, zbiór wszystkich endomorfizmów przestrzeni liniowej $V$ wymiaru większego niż $1$ z działaniami ich dodawania i mnożenia oraz mnożenia endomorfizmów przez skalary jest algebrą nieprzemienną.
• Generalnie, pierścień wielomianów $K[X]$ oraz ciało funkcji wymiernych $K(X)$ z dodawaniem i mnożeniem wielomianów/funkcji oraz mnożeniem wielomianów/funkcji przez skalar (zob. przestrzeń funkcyjna).

Zobacz też

• algebra Banacha,
• *-algebra.