Algebra wolna

Algebra wolna – w algebrze, uogólnienie pojęcia pierścienia wielomianów na nieprzemienne struktury algebraiczne.

Definicja

Niech $K$ będzie klasą algebr ogólnych tego samego typu oraz niech $A\in K$. Podzbiór $S\subseteq A$ nazywamy zbiorem wolnych generatorów algebry $A$ w klasie $K$ wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego przekształcenia $f\colon S\to B\in K$ istnieje dokładnie jeden taki homomorfizm $h\colon A\to B$, że

$h|_S=f$.

Jeśli dla danej algebry $A$ istnieje jej zbiór wolnych generatorów w klasie $K$, to nazywamy ją algebrą wolną w klasie $K$.

Innymi słowy, zbiór wolnych generatorów algebry, to taki jej podzbiór, że każde jego przekształcenie w inną algebrę tego samego typu da się jednoznacznie przedłużyć do homomorfizmu na całą algebrę.

Własności

• Jeśli $K$ jest klasą algebr, a $S$ jest zbiorem wolnych generatorów algebry $A$ w klasie $K$, to $S$ generuje algebrę $A$, tzn. $A$ jest najmniejszą w sensie inkluzji algebrą zawierającą zbiór $S$.
• Jeśli $K$ jest klasą algebr, $S_1,S_2$ zbiorami wolnych generatorów algebr $A_1, A_2$ w klasie $K$, to każde przekształcenie $f\colon S_1\to S_2$ można jednoznacznie przedłużyć do homomorfizmu $h\colon A_1\to A_2$. Homomorfizm $h$ jest izomorfizmem wtedy i tylko wtedy, gdy $f$ jest bijekcją.
• Jeśli $A_1, A_2$ są algebrami wolnymi w $K$ oraz ich zbiory wolnych generatorów są równoliczne, to algebry te są izomorficzne.

Przykłady

• Przykładem algebry wolnej jest grupa wolna. Każda podgrupa grupy wolnej jest grupą wolną.
• Baza przestrzeni liniowej jest zbiorem wolnych generatorów (twierdzenie o przekształceniu liniowym zadanym na bazie) - innymi słowy, przestrzenie liniowe są modułami wolnymi nad ciałami.

Bibliografia

• Andrzej Białynicki-Birula: Zarys algebry. Warszawa: PWN, 1987.