Antynomia Russella

Antynomia Russella lub paradoks Russella – sprzeczność wykryta w naiwnej teorii mnogości przez Bertranda Russella w 1901 roku. Sprzeczność ta stanowiła duży cios dla rozwoju logicyzmu, będącego próbą aksjomatyzacji matematyki, zgodnie z którym wszystkie obiekty matematyczne powinny dać się wyrazić jako zbiory. Obserwacje dokonane przez Russella zmusiły matematyków do rewizji tego fundamentalnego stanowiska i następnie przyjęcia, że istnieją obiekty niebędące zbiorami, opisywane formułami logicznymi – nazywa się je klasami właściwymi. Paradoks ten ma charakter podobny do takich paradoksów jak paradoks zbioru wszystkich zbiorów, paradoks kłamcy czy paradoks Berry'ego.

Anegdotyczne sformułowanie antynomii Russela nosi nazwę „paradoksu fryzjera” lub „paradoksu golibrody”:

Fryzjer, mieszkaniec pewnego miasta, goli tych jego mieszkańców, którzy sami się nie golą. Czy fryzjer goli się sam?

Paradoks

Niech $\scriptstyle V$ oznacza zbiór zawierający wszystkie takie zbiory $\scriptstyle X,$ dla których $\scriptstyle X$ nie jest elementem $\scriptstyle X,$ tj.

$V = \bigl\{X\colon X \notin X\bigl\}.$

Zbiór taki istnieć nie może, ponieważ rozpatrując pytanie o to, czy $\scriptstyle V$ jest elementem $\scriptstyle V$ dochodzi się do sprzeczności: jeśli byłby, to wtedy $\scriptstyle V$ nie spełnia własności elementów zbioru $\scriptstyle V,$ a więc nie jest elementem $\scriptstyle V;$ jeśli zaś $\scriptstyle V$ nie byłby elementem $\scriptstyle V,$ to $\scriptstyle V$ musi być elementem $\scriptstyle V$ na mocy definicji tego zbioru.

Linki zewnętrzne

• Jerzy Dadaczyński: Antynomie teoriomnogościowe a powstanie klasycznych kierunków badania podstaw matematyki. www.obi.opoka.org.pl.