Argument liczby zespolonej

Argument liczby zespolonej – miara kąta skierowanego między wektorem reprezentującym liczbę zespoloną $z$ na płaszczyźnie zespolonej, a osią rzeczywistą. Oznaczenie: $\arg(z)$.

Argument nie jest określony jednoznacznie – dowolne dwa argumenty liczby zespolonej różnią się o wielokrotność $2\pi$. Argument sprowadzony do przedziału $[0, 2\pi)$, lub $(-\pi, \pi]$, nazywa się argumentem głównym. Oznaczenie: $\mbox{Arg}(z)$.

Argument wykorzystuje się m.in. w zapisie trygonometrycznym liczby zespolonej:

$a+bi = r(\cos \phi + i \sin \phi)\;$,

gdzie $r=\sqrt{a^2+b^2}=|z|$ jest modułem liczby zespolonej, a $\phi$ jej argumentem.

Dla liczb o niezerowej składowej rzeczywistej wartość argumentu może być obliczona ze wzoru:

$\varphi=\begin{cases} \operatorname{arc tg}\left({b \over a}\right), & \mbox{gdy } a > 0 \\ \operatorname{arc tg}\left({b \over a}\right)+\pi, & \mbox{gdy }a < 0 \end{cases}$

Dla liczb czysto urojonych (o zerowej składowej rzeczywistej), $z = bi$:

$\varphi = \begin{cases}{1\over 2}\pi, & \mbox{gdy } b > 0 \\ -{1\over 2}\pi, & \mbox{gdy } b < 0 \end{cases}$

Dla liczby $z = 0$, która ma obie składowe zerowe, argument jest nieokreślony.

Niech $a+bi= r (\cos \phi + i \sin \phi)\;$ oraz niech $c+di = \rho(\cos \psi + i \sin \psi)\;$, wówczas iloczyn i iloraz liczb zespolonych wyrażają się wzorami:

• $(a+bi) \cdot (c+di) = r \cdot \rho (\cos (\phi+\psi) + i \sin(\phi+\psi))$
• $\frac{a+bi}{c+di} = \frac r \rho (\cos(\phi-\psi) + i \sin(\phi-\psi))$