Baza (przestrzeń liniowa)
Baza – pojęcie będące przeniesieniem oraz rozwinięciem idei układu współrzędnych kartezjańskich w przestrzeniach euklidesowych na abstrakcyjne przestrzenie liniowe.
Spis treści |
[edytuj] Definicja
Baza przestrzeni liniowej to maksymalny w sensie relacji inkluzji zbiór wektorów liniowo niezależnych w danej przestrzeni.
Słowo maksymalny może być tu interpretowane tak: każdy inny zbiór wektorów, zawierający bazę jako swój właściwy podzbiór, jest już liniowo zależny.
W analizie funkcjonalnej, bazę zupełnej unormowanej przestrzeni liniowej określoną jak wyżej, nazywa się bazą Hamela, dla odróżnienia od innych pojęć bazy, spotykanych np. w teorii przestrzeni Banacha (por. baza Schaudera).
[edytuj] Inne określenia
Inne, równoważne określenia bazy:
- Jest to minimalny zbiór wektorów taki, że każdy wektor przestrzeni V jest kombinacją liniową wektorów tego zbioru. Zbiór o tej własności nazywamy zbiorem generującym przestrzeń.
- Zbiór wektorów B ⊆ V jest bazą, gdy spełnione są następujące warunki:
- wektory w B są liniowo niezależne.
- zbiór B generuje całą przestrzeń V, tzn. dowolny wektor y z przestrzeni V można przedstawić za pomocą kombinacji liniowej wektorów ze zbioru B.
- Innymi słowy: baza przestrzeni liniowej jest liniowo niezależna i cała przestrzeń jest jej powłoką liniową.
- Każdy wektor przestrzeni daje się jednoznacznie przedstawić jako kombinacja liniowa wektorów bazy. Jednoznacznie oznacza tu "tylko jednym sposobem" – jeżeli pewien wektor daje się przedstawić jako kombinacja liniowa wektorów danego zbioru na dwa różne sposoby, to ten zbiór nie jest bazą przestrzeni.
[edytuj] Przykład
Dany jest zbiór A = {(0, 1), (1, 1), (1, 0)} wektorów w przestrzeni euklidesowej R2. Zauważmy, że wektor (1, 1) można przedstawić jako:
- (1, 1) = 1·(1, 0) + 1·(0, 1) .
Wynika stąd, że A nie jest bazą przestrzeni R2.
Z drugiej strony, niech B = {(1, 1), (1, 0)} i niech (x, y) będzie dowolnym wektorem R2. Szukając przedstawienia wektora (x, y) jako kombinacji liniowej wektorów zbioru B mamy:
- (x, y) = α·(1, 1) + β·(1, 0) = (α + β, α) skąd α = y i β = x – y.
Zatem przedstawienie wektora (x, y) jako kombinacji liniowej elementów zbioru B jest jednoznaczne, co oznacza, że zbiór B jest bazą przestrzeni R2.
[edytuj] Inny przykład
Zbiór pusty jest bazą jednoelementowej przestrzeni {0}.
[edytuj] Współrzędne wektora w bazie
Niech W = { w1, ... , wn } będzie bazą przestrzeni V, a
- v = αw1w1 + αw2w2 + ... + αwnwn
przedstawieniem wektora v w bazie W. Z definicji bazy, przedstawienie to jest jednoznaczne – biorąc inny układ skalarów (αwi) otrzymamy wektor różny od v. Oznacza to, że wektor v jest jednoznacznie wyznaczony przez reprezentujący go w bazie W układ skalarów (αwi). Układ ten nazywamy układem współrzędnych wektora v w bazie W, a same skalary współrzędnymi wektora.
[edytuj] Przykład
Z poprzedniego przykładu wynika, że współrzędne wektora (-3, 4) w bazie B są równe 4(1,1), -7(1,0). Indeksy przy współrzędnych wskazują, z którym wektorem należy łączyć daną współrzędną – zmiana kolejności współrzędnych dałaby wektor 4·(1, 0) + (-7)(1, 1) = (-3, -7).
[edytuj] Istnienie bazy
Każda przestrzeń liniowa ma bazę. Dowód tego faktu przebiega różnie w zależności od tego, czy w danej przestrzeni istnieje skończony zbiór generujący tę przestrzeń, czy nie. W tym drugim przypadku należy odwołać się do lematu Kuratowskiego-Zorna. Dowód istnienia bazy nie jest konstruktywny, tzn. nie daje żadnego algorytmu na otrzymanie wektorów tworzących bazę.
Każdy zbiór liniowo niezależnych wektorów można uzupełnić tak, by otrzymać bazę przestrzeni (twierdzenie Steinitza). Na odwrót, z każdego zbioru wektorów generującego przestrzeń, można wybrać podzbiór, który jest jej bazą.
W 1984 Andreas Blass udowodnił[1], że powyższe twierdzenie (każda przestrzeń liniowa ma bazę) jest równoważne z aksjomatem wyboru.
[edytuj] Wymiar przestrzeni liniowej
Wszystkie bazy danej przestrzeni liniowej są równoliczne. Fakt ten pozwala określić wymiar przestrzeni liniowej jako moc jej dowolnej bazy. Tak określony wymiar przestrzeni liniowej nazywa się często wymiarem Hamela, w odróżnieniu od innych pojęć wymiaru stosowanych w matematyce.
Przestrzeń, która ma bazę skończoną nazywana jest przestrzenią skończeniewymiarową, w przeciwnym wypadku mówimy o przestrzeni nieskończenie wymiarowej.
[edytuj] Przestrzenie euklidesowe
Dowolna przestrzeń kartezjańska jest z określenia skończenie wymiarowa. Jej bazę złożoną z wektorów (1, 0, 0, ..., 0), (0, 1, 0, ..., 0), ..., (0, 0, 0, ..., 1) nazywama jest bazą kanoniczną lub standardową. Układ współrzędnych dowolnego wektora v = (v1, v2, ..., vn) w bazie kanonicznej pokrywa się z jego współrzędnymi w sensie przestrzeni euklidesowej.
[edytuj] Orientacja bazy
Dwie bazy uporządkowane w rzeczywistej przestrzeni liniowej są nazywane zgodnie zorientowanymi, jeśli macierz przejścia między od jednej bazy do drugiej ma dodatni wyznacznik. Bazy które nie są zgodnie zorientowane, nazywane są bazami o przeciwnej orientacji.
[edytuj] Uogólnienia
W przestrzeniach liniowo-topologicznych częściej niż rozważane tu pojęcie bazy Hamela występuje i ważniejszą rolę odgrywa pojęcie bazy zdefiniowane jako liniowo niezależny zbiór wektorów, o tej własności, że każdy wektor jest sumą nieskończonego szeregu iloczynów wektorów bazowych przez jednoznacznie określone skalary - baza Schaudera. Dotyczy to w szczególności przestrzeni Hilberta. W przypadku przestrzeni skończenie wymiarowych oba pojęcia oczywiście się pokrywają.
Przypisy
- ↑ Blass, Andreas. Existence of bases implies the axiom of choice. Axiomatic set theory (Boulder, Colo., 1983), 31--33, Contemp. Math., 31, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1984.
