Baza otoczeń

Baza otoczeń w punkcie i system otoczeń to terminy w topologii odnoszące się do specjalnych rodzin podzbiorów przestrzeni topologicznej.

Definicja

Niech $(X,\tau)$ będzie przestrzenią topologiczną, a $x\in X$. Powiemy że rodzina ${\mathcal B}$ otoczeń punktu $x$ jest bazą otoczeń w punkcie $x$ jeśli każde otoczenie $x$ zawiera element ${\mathcal B}$.

Równoważnie, rodzina ${\mathcal B}$ otoczeń punktu $x$ jest bazą otoczeń w $x$ jeśli

$\big(\forall U\in\tau\big)\big(x\in U\ \Rightarrow\ (\exists V\in {\mathcal B})(x\in V\subseteq U)\big)$.

System otoczeń dla przestrzeni $X$ to rodzina $\{{\mathcal B}(x):x\in X\}$ taka, że ${\mathcal B}(x)$ jest bazą otoczeń w $x$ dla każdego $x\in X$.

Zauważmy, że w definicji tej nie wymaga się, by otoczenia były zbiorami otwartymi (choć będzie to zakładane w dalszym ciągu).

Dla zaznaczenia, że wszystkie elementy bazy otoczeń są zbiorami otwartymi, używa się zwrotu baza otoczeń otwartych w punkcie $x$ i podobnie dla systemów otoczeń.

Przykłady

• Zbiór wszystkich otoczeń punktu $x$ jest bazą otoczeń w tym punkcie.
• Jeśli $X$ jest przestrzenią dyskretną, to ${\mathcal B}_d(x)=\big\{\{x\}\big\}$ jest bazą otoczeń w $x\in X$. Jeśli $X$ jest przestrzenią antydyskretną, to ${\mathcal B}_a(x)=\{X\}$ jest bazą otoczeń w $x\in X$.
• Jeśli $X$ jest przestrzenią metryczną z odległością $d$ i dla punktu $x\in X$ oraz liczby dodatniej $r>0$ położymy $B(x,r)=\{ y \in X: d(x,y)<r \}$, to wtedy rodzina $\{B(x,1/n):n=1,2,3,\ldots\}$ jest bazą otoczeń w $x$.

Charakteryzacja i własności

• Załóżmy że $\{{\mathcal B}(x):x\in X\}$ jest systemem otoczeń otwartych w przestrzeni topologicznej $X$. Wówczas następujące warunki (BP1)-(BP3) są spełnione:

(BP1) Dla każdego $x\in X$, ${\mathcal B}(x)\neq \emptyset$ i dla każdego $U\in {\mathcal B}(x)$ mamy że $x\in U$.

(BP2) Jeśli $x\in U\in {\mathcal B}(y)$, $x,y\in X$, to istnieje $V\in {\mathcal B}(x)$ takie że $V\subseteq U$.

(BP3) Dla każdych $U_1,U_2\in {\mathcal B}(x)$, $x\in X$, można znaleźć $U\in {\mathcal B}(x)$ takie że $U\subseteq U_1\cap U_2$.

• Przypuśćmy że $X$ jest niepustym zbiorem i $\{{\mathcal B}(x):x\in X\}$ jest systemem rodzin podzbiorów zbioru $X$ spełniającym warunki (BP1)-(BP3). Niech $\tau$ będzie rodziną wszystkich podzbiorów $X$ które mogą być przedstawione jako sumy podrodzin rodziny $\bigcup\limits_{x\in X}{\mathcal B}(x)$. Wówczas $\tau$ jest topologią na $X$ i $\{{\mathcal B}(x):x\in X\}$ jest systemem otoczeń otwartych dla tej topologii. Często mówimy wtedy że $\tau$ jest topologią generowaną przez $\{{\mathcal B}(x):x\in X\}$.

Powyższa obserwacja służy za podstawę jednej z metod definiowania topologii na danym zbiorze: przez podanie bazy otoczeń w każdym punkcie. Właśnie ta metoda jest przez nas użyta do zdefiniowania płaszczyzny Niemyckiego oraz przykładu przestrzeni T₃ ale nie T_{3 1/2}.

Funkcje kardynalne

Z pojęciem bazy otoczeń związane są następujące funkcje kardynalne:

• Charakter punktu $x\in X$ w przestrzeni topologicznej $X$ to najmniejsza możliwa moc bazy otoczeń w tym punkcie. Charakter punktu $x\in X$ oznaczany jest przez $\chi(x,X)$.
• Charakter przestrzeni $X$ jest zdefiniowany jako

$\chi(X)=\sup\{\chi(x,X):x\in X\}$.

Zobacz też

• topologia
• przestrzeń topologiczna
• baza topologii
• otoczenie
• aksjomaty przeliczalności