Brzeg (matematyka)

Zbiór (jasnoniebieski) wraz z jego brzegiem (ciemnoniebieski).

Brzeg – pojęcie topologiczno-geometryczne oddające i formalizujące intuicję punktów „granicznych” danego zbioru, czy figury, czy też „ograniczających” je.

Zachowanie funkcji na brzegu dziedziny może się znacząco różnić od zachowania w jego wnętrzu (tzn. w dziedzinie z wyłączeniem brzegu); z tego też powodu w analizie pochodne rozpatruje się zwykle wyłącznie na (niepustych) zbiorach bez brzegu, tzw. zbiorach otwartych. Zadanie z postawionymi warunkami ograniczającymi rozwiązania równania różniczkowego na brzegu badanego zbioru nazywa się zagadnieniem brzegowym. Jednym ze znanych wyników rachunku różniczkowego i całkowego wiążącym pole powierzchni brzegu z obejmowaną przez niego objętością jest twierdzenie Ostrogradskiego-Gaussa (a w ogólności – twierdzenie Stokesa). Ważnym twierdzeniem topologicznym dotyczacym pojęcia brzegu jest twierdzenie Baire'a.

Opisane w artykule pojęcie brzegu różni się pojęć brzegów dla rozmaitości topologicznych, czy kompleksów symplicjalnych.

Definicja i własności

Punkt B jest punktem brzegowym jasnobłękitnego zbioru, gdyż dowolne jego otoczenie (w szczególności błękitna kula o środku w tym punkcie) zawiera punkty należące do zbioru, jak i spoza niego.

Niech dana będzie przestrzeń topologiczna $\scriptstyle X$ oraz zawarty w niej zbiór $\scriptstyle A.$ Punktem brzegowym $\scriptstyle A$ nazywa taki punkt przestrzeni $\scriptstyle X,$ którego dowolne otoczenie zawiera punkty należące zarówno do $\scriptstyle A,$ jak i jego dopełnienia $\scriptstyle A^\mathrm c.$ Brzegiem zbioru $\scriptstyle A$ nazywa się zbiór wszystkich jego punktów brzegowych, który zwykle oznacza się jednym z symboli $\scriptstyle \mathrm{bd}\; A,\ \mathrm{fr}\; A,\ \partial A$ (od ang. boundary, frontier).

Niech $\scriptstyle \mathrm{cl}\ A$ oraz $\scriptstyle \mathrm{int}\ A$ oznaczają odpowiednio domknięcie i wnętrze (topologia) zbioru $\scriptstyle A.$ Wówczas brzeg zbioru można zdefiniować za pomocą tożsamości

$\mathrm{bd}\ A = \mathrm{cl}\ A \cap \mathrm{cl}\ A^\mathrm c,$

bądź

$\mathrm{bd}\ A = \mathrm{cl}\ A \setminus \mathrm{int}\ A.$

Wprost z definicji wynika, że brzeg zbioru jest:

• równy brzegowi jego dopełnienia,

  $\mathrm{bd}\ A = \mathrm{bd}\ A^\mathrm c,$

• zawarty w domknięciu tego zbioru,

  $\mathrm{bd}\ A \subseteq \mathrm{cl}\ A,$

• zbiorem domkniętym,

  $\mathrm{bd}\ A = \mathrm{cl}(\mathrm{bd}\ A).$

Domknięcie jest sumą zbioru i jego brzegu,

$\mathrm{cl}\ A = A \cup \mathrm{bd}\ A,$

więcej: zbiór jest domknięty wtedy i tylko wtedy, gdy zawiera swój brzeg oraz otwarty wtedy i tylko wtedy, gdy nie ma punktów wspólnych ze swoim brzegiem. Brzeg zbioru jest pusty wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór jest jednocześnie otwarty i domknięty; mówi się wtedy, że zbiór „nie ma brzegu”. Zbiór o pustym wnętrzu nazywa się zbiorem brzegowym.

Dla dowolnego zbioru $\scriptstyle A$ zachodzi

$\mathrm{bd}\ A \supseteq \mathrm{bd}(\mathrm{bd}\ A),$

przy czym równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy $\scriptstyle A$ jest brzegowy (co ma miejsce np. wtedy, gdy $\scriptstyle A$ jest otwarty lub domknięty). Ponieważ brzeg jest zbiorem domkniętym, to

$\mathrm{bd}(\mathrm{bd}\ A) = \mathrm{bd}\bigl(\mathrm{bd}(\mathrm{bd}\ A)\bigr)$

dla dowolnego zbioru $\scriptstyle A,$ czyli operator brzegu $\scriptstyle \mathrm{bd}$ spełnia pewną słabszą postać idempotentności.

Przykłady

Brzeg składowych zbioru Mandelbrota o okresach od 1 do 6.

Niech $\mathbb R$ oznacza zbiór liczb rzeczywistych z jej naturalną topologią. Wówczas

• $\mathrm{bd}\ \mathbb R = \mathrm{bd}\ \varnothing = \varnothing,$
• $\mathrm{bd}\ (0, 5) = \mathrm{bd}\ [0, 5) = \mathrm{bd}\ (0, 5] = \{0, 5\},$
• $\mathrm{bd}\ \left\{1, \tfrac{1}{2}, \tfrac{1}{3}, \tfrac{1}{4}, \dots\right\} = \left\{0, 1, \tfrac{1}{2}, \tfrac{1}{3}, \tfrac{1}{4}, \dots\right\},$
• $\mathrm{bd}\ \mathbb Q = \mathrm{bd}\ \mathbb Q^\mathrm c = \mathbb R.$

Ostatnie dwa przykłady pokazują, że brzeg zbioru może być nadzbiorem danego zbioru. Pojęcie brzegu zbioru w istotny sposób zależy od topologii przestrzeni: w naturalnej topologii przestrzeni euklidesowej $\scriptstyle \mathbb R^2$ brzegiem koła

$B_2 = \bigl\{(x, y) \in \mathbb R^2\colon x^2 + y^2 \leqslant 1\bigr\}$

jest okrąg

$C_2 = \bigl\{(x, y) \in \mathbb R^2\colon x^2 + y^2 = 1\bigr\},$

jednak zanurzenie koła $\scriptstyle B_2$ jest zbiorem brzegowym w $\scriptstyle \mathbb R^3,$ natomiast w topologii $\scriptstyle \mathbb R^3$ zrelatywizowanej do $\scriptstyle B^2$ zbiór ten nie ma brzegu.

W przestrzeni euklidesowej każdy zbiór domknięty jest brzegiem pewnego zbioru.

Zobacz też

• wnętrze, zewnętrze
• pochodna zbioru