Całka Riemanna

Całka jako „zorientowane pole pod wykresem”: wartością całki z rzeczywistej funkcji $\scriptstyle f$ na przedziale $\scriptstyle [a, b]$ jest pole powierzchni obszarów zaznaczonych na niebiesko pomniejszone o pole obszaru oznaczonego kolorem żółtym.

Całka Riemanna – konstrukcja analizy matematycznej przedstawiona przez niemieckiego matematyka Bernharda Riemanna w 1854 roku w jego pracy habilitacyjnej na Uniwersytecie w Getyndze pt. Ueber die Darstellbarkeit einer Funktion durch eine trigonometrische Reihe („O reprezentowalności funkcji przez szereg trygonometryczny”) jako pierwsza ścisła definicja całki. Istnieje również całkowicie równoważna całce Riemanna konstrukcja całki Darboux, pochodząca od francuskiego matematyka Gastona Darboux, który wprowadził ją w swojej pracy z 1870 roku zatytułowanej Sur les équations aux dérivées partielles du second ordre („O równaniach różniczkowych cząstkowych drugiego rzędu”) i uzasadnił jej równoważność z całką Riemanna w 1875 roku w pracy p.t. Mémoire sur la theorie des fonctions discontinues („Rozprawa o teorii funkcji nieciągłych”).

Głównymi zaletami całki Riemanna są intuicyjność, klarowność definicji i stosunkowa łatwość wprowadzenia wystarczające częstokroć do większości zastosowań; konstrukcja Darboux wymaga nieco mniejszej liczby pojęć niezbędnych do jej przeprowadzenia, przez co stanowi atrakcyjną alternatywę dla konstrukcji Riemanna. Do zasadniczych wad tych całek należy względnie mała ilość funkcji całkowalnych, czy konieczność zbieżności jednostajnej ciągu funkcji przy zamianie operatorów granicy i całki. W swej interpretacji geometrycznej są one ponadto równoważne tzw. mierze Jordana – na tej właśnie zgodności opiera się popularna interpretacja całki z danej funkcji jako „pola pod jej wykresem” – wynika to stąd, iż oba te pojęcia wykorzystują szczególną strukturę ciała liczb rzeczywistych (przede wszystkim ich uporządkowanie) mając te same ograniczenia, które pokonywane są za pomocą różnorakich uogólnień (zob. Związek z miarą Jordana).

Konstrukcje

Przykładowa suma Riemanna z zaznaczonym nieregularnym podziałem z punktami pośrednimi; podprzedział o największej średnicy zaznaczono kolorem czerwonym.

Podział przedziału

Podziałem $\scriptstyle P$ przedziału $\scriptstyle [a, b]$ nazywa się każdy (ściśle) rosnący ciąg skończony $\scriptstyle (p_0, \dots, p_n)$ elementów nazywanych punktami podziału tego przedziału, w którym pierwszy i ostatni wyraz ciągu wskazują odpowiednio początek i koniec przedziału, tzn. $\scriptstyle a = p_0 < p_1 < \dots < p_{n-1} < p_n = b.$ W każdym z podprzedziałów podziału $\scriptstyle P$ można wyróżnić jeden element, nazywany punktem pośrednim: podział $\scriptstyle P(q_1, \dots, q_n)$ z punktami pośrednimi $\scriptstyle q_1, \dots, q_n$ przedziału $\scriptstyle [a, b]$ można zdefiniować jako ciąg skończony $\scriptstyle (p_0, \dots, p_n, q_1, \dots, q_n),$ dla którego $\scriptstyle a = p_0 < p_1 < \dots < p_{n-1} < p_n = b$ oraz $\scriptstyle q_i \in P_i$ dla $\scriptstyle i = 1, \dots, n.$ Każda para „sąsiednich” punktów podziału $\scriptstyle (p_{i-1}, p_i)$ wyznacza podprzedział $\scriptstyle P_i = [p_{i-1}, p_i]$ o długości $\scriptstyle |P_i| = \Delta p_i := p_i - p_{i-1}$ dla $\scriptstyle i = 1, \dots n.$

Podział $\scriptstyle S$ rozdrabnia podział $\scriptstyle P,$ jeżeli podział $\scriptstyle P$ jest podciągiem podziału $\scriptstyle S,$ tzn. dla każdego $\scriptstyle i = 1, \dots, m$ można wybrać $\scriptstyle j_i = 1, \dots, n$ tak, że $\scriptstyle s_i = p_{j_i}.$ Podobnie definiuje się rozdrabnianie podziału $\scriptstyle P(q_1, \dots, q_n)$ przez podział $\scriptstyle S(t_1, \dots, t_n)$ z jedynym zastrzeżeniem, by tak stare, jak i nowe punkty pośrednie należały do nowych podprzedziałów; tzn. dla każdego $\scriptstyle i = 1, \dots, m$ można było tak wybrać $\scriptstyle j_i = 1, \dots, n,$ by $\scriptstyle r_i = p_{j_i}$ oraz $\scriptstyle t_i \in \{q_{j_i}, \dots, q_{j_{i+1}-1}\}.$

Równoważnie zamiast rozdrobnień podziałów można rozpatrywać tzw. „ciągi normalne” podziałów. Średnicą podziału $\scriptstyle P$ nazywa się największą długość przedziału, $\scriptstyle \mathrm{diam}\;P = \max_{i = 1, \dots, n} |P_i|.$ Ciąg podziałów $\scriptstyle (P^k)$ nazywa się normalnym, jeżeli $\scriptstyle \mathrm{diam}\;P^k \to 0$ dla $\scriptstyle k \to \infty.$

Całka Darboux

Sumy dolna i górna Darboux oznaczone odpowiednio kolorami zielonym i zielonym z lawendowym dla czterech podprzedziałów.

Niech dana będzie funkcja $\scriptstyle f\colon [a, b] \to \mathbb R.$ Kresy dolny i górny funkcji $\scriptstyle f$ w danym podprzedziale $\scriptstyle P_i$ podziału $\scriptstyle P$ przedziału $\scriptstyle [a, b]$ oznaczane będą odpowiednio symbolami

$m_{f, P_i} = \inf_{x \in P_i} f(x) \quad\mbox{ oraz }\quad M_{f, P_i} = \sup_{x \in P_i} f(x);$

różnicę tych liczb

$\omega_{f, P_i} = M_{f, P_i} - m_{f, P_i}$

nazywa się oscylacją funkcji $\scriptstyle f$ na przedziale $\scriptstyle P_i.$

Odpowiednio sumą dolną i górną (Darboux) nazywa się liczby

$L_{f, P} = \sum_{i = 1}^n m_{f, P_i} \cdot \Delta p_i \quad\mbox{ oraz }\quad U_{f, P} = \sum_{i = 1}^n M_{f, P_i} \cdot \Delta p_i .$

Wielkości te umożliwiają zdefiniowanie całki dolnej i górnej (Darboux) funkcji $\scriptstyle f$ jako odpowiednio

$L_f = \inf\bigl\{L_{f, P}\colon P \mbox{ jest podziałem } [a, b]\bigr\}$

oraz

$U_f = \sup\bigl\{U_{f, P}\colon P \mbox{ jest podziałem } [a, b]\bigr\}.$

O funkcji $\scriptstyle f$ mówi się, że jest całkowalna w sensie Darboux lub krótko D-całkowalną, jeżeli $\scriptstyle L_f = U_f;$ wówczas tę wspólną wartość $\scriptstyle D_f$ całki dolnej i górnej Darboux nazywa się po prostu całką Darboux.

Całka Riemanna

Przykład sum Riemanna przy wyborze punktu pośredniego w prawym końcu podprzedziału (niebieski), w wartości minimalnej (czerwony) i maksymalnej (zielony) funkcji w podprzedziale i lewego końca podprzedziału (żółty). Wartość wszystkich czterech przypadków zbliża się do 3,76 przy powiększaniu liczby podprzedziałów od 2 do 10 (w domyśle, również nieograniczenie).

Niech dana będzie funkcja $\scriptstyle f\colon [a, b] \to \mathbb R.$ Sumą częściową (Riemanna) nazywa się liczbę

$R_{f, P(q_1, \dots, q_n)} = \sum_{i = 1}^n f(q_i) \cdot \Delta p_i.$

Funkcję $\scriptstyle f$ nazywa się całkowalną w sensie Riemanna lub krótko R-całkowalną, jeśli dla dowolnego ciągu normalnego $\scriptstyle (P^k)$ podziałów przedziału $\scriptstyle [a, b],$ istnieje (niezależna od wyboru punktów pośrednich) granica

$R_f = \lim_{k \to \infty} R_{f, P^k\left(q_1^k, \dots, q_{n_k}^k\right)}$

nazywana wtedy całką Riemanna tej funkcji. Równoważnie: jeżeli istnieje taka liczba $\scriptstyle R_f,$ że dla dowolnej liczby rzeczywistej $\scriptstyle \varepsilon > 0$ istnieje taka liczba rzeczywista $\scriptstyle \delta > 0,$ że dla dowolnego podziału $\scriptstyle P(q_1, \dots, q_n)$ o średnicy $\scriptstyle \mathrm{diam}\; P(q_1, \dots, q_n) < \delta;$ bądź też w języku rozdrobnień: że dla dowolnej liczby rzeczywistej $\scriptstyle \varepsilon > 0$ istnieje taki podział $\scriptstyle S(t_1, \dots, t_m)$ przedziału $\scriptstyle [a, b],$ że dla każdego podziału $\scriptstyle P(q_1, \dots, q_n)$ rozdrabniającego $\scriptstyle S(t_1, \dots, t_m)$ zachodzi

$\left|R_{f, P(q_1, \dots, q_n)} - R_f\right| < \varepsilon.$

Funkcję $\scriptstyle f$ nazywa się wtedy całkowalną w sensie Riemanna (R-całkowalną), a liczbę $\scriptstyle R_f$ jej całką Riemanna.

Równoważność

Po rozdrobnieniu podziału suma dolna zwiększa się, zaś suma górna zmniejsza się.

Jeżeli $\scriptstyle P'$ jest rozdrobnieniem $\scriptstyle P,$ to $\scriptstyle U_{f, P} \geqslant U_{f, P'}$ oraz $\scriptstyle L_{f, P} \leqslant L_{f, R}.$ Jeżeli $\scriptstyle P_1, P_2$ są dwoma podziałami (niekoniecznie jedno musi być rozdrobnieniem drugiego) przedziału $\scriptstyle [a, b],$ to $\scriptstyle L_{f, P_1} \leqslant U_{f, P_2},$ skąd $\scriptstyle L_f \leqslant U_f.$

Sumy Riemanna funkcji zawsze leżą między odpowiadającymi im dolnymi i górnymi sumami Darboux, tzn. dla podziału z punktami pośrednimi $\scriptstyle P(q_1, \dots, q_n)$ i odpowiadającego mu podziału $\scriptstyle P$ bez punktów pośrednich odcinka $\scriptstyle [a, b]$ zachodzi

$L_{f, P} \leqslant R_{f, P(q_1, \dots, q_n)} \leqslant U_{f, P};$

więcej są to kresy dolne i górne wartości $\scriptstyle R_{f, P(q_1, \dots, q_n)}$ odpowiadającej podziałowi $\scriptstyle P(q_1, \dots, q_n)$ z dowolnymi punktami pośrednimi.

Stąd jeżeli całka Darboux istnieje, tzn. $\scriptstyle L_f = U_f,$ to istnieje również $\scriptstyle R_f = D_f,$ tak więc

$U_{f, P} - L_{f, P} = \sum_{i=1}^n \omega_{f, P_i} \cdot \Delta p_i < \varepsilon$

dla dowolnego podziału $\scriptstyle P,$ pociąga całkowalność w sensie Riemanna. Nietrudno zauważyć, że istnieje podział z punktami pośrednimi, dla którego całka Riemanna ma wartość dowolnie bliską górnej i dolnej całce Darboux, co oznacza że z istnienia całki Riemanna wynika istnienie całki Darboux.

Oznaczenia

Różne warianty typograficzne znaku całki – od lewej do prawej: symbolu pochylonego w prawo używa się przede wszystkim w krajach anglojęzycznych, symbol prosty pojawia się w publikacjach Europy Środkowej, symbol pochylony w lewo należy do tradycji rosyjskiej; w polskiej literaturze można spotkać każdy z wariantów.

Symbol całki ∫ powstał z minuskuły ſ (tzw. „długiego s”) używanej przez Gottfrieda Leibniza w łacińskim słowie summa, oznaczającym sumę, które pisał on ſumma. Dla funkcji $\scriptstyle f\colon [a, b] \to \mathbb R$ całki Darboux górną $\scriptstyle U_f$ i dolną $\scriptstyle L_f$ oznacza się zwykle odpowiednio symbolami

$\overline\int\!\!\!\!\!\!\!\int\limits_a^b f(x)\ \mathrm dx, \qquad \underline\int\!\!\!\!\!\!\!\int\limits_a^b f(x)\ \mathrm dx,$

zaś samą całkę Darboux $\scriptstyle D_f$ oraz całkę Riemanna $\scriptstyle R_f$ dodając przed nimi pierwszą literę nazwiska w nawiasie,

$(\mathrm D) \int\limits_a^b f(x)\ \mathrm dx, \qquad (\mathrm R) \int\limits_a^b f(x)\ \mathrm dx.$

Ze względu na równoważność tych konstrukcji zwykle mówi się wyłącznie o całce Riemanna, przy czym zwykle pomija się oznaczenie literowe, jeżeli nie prowadzi to do nieporozumień:

$\int\limits_a^b f(x)\ \mathrm dx.$

Własności

Przedstawienie ciągu sum częściowych Riemanna; liczby w prawym górnym rogu są polami obszaru szarych prostokątów – można zauważyć, że zbiegają one do ustalonej liczby równej całce funkcji.

Niech dla dowolnej funkcji R-całkowalnej $\scriptstyle f \colon [a, b] \to \mathbb R,$ gdzie $\scriptstyle a \leqslant b,$ będą dane jej kresy dolny i górny oraz kres górny wartości bezwzględnej:

$m_f = \inf_{x \in [a, b]} f(x), \qquad M_f = \sup_{x \in [a, b]} f(x) \quad\mbox{ oraz }\quad K_f = \sup_{x \in [a, b]} \bigl|f(x)\bigr|.$

Wówczas

$m_f(b - a) \leqslant \int\limits_a^b f(x)\ \mathrm dx \leqslant M_f(b - a),$

skąd też

$\left|\int\limits_a^b f(x)\ \mathrm dx\right| \leqslant K_f(b - a),$

zaś dla funkcji $\scriptstyle f$ spełniającej $\scriptstyle f(x) \geqslant 0$ dla wszystkich $\scriptstyle x \in [a, b]$ zachodzi

$\int\limits_a^b f(x)\ \mathrm dx \geqslant 0.$

Całka Riemanna jest operatorem liniowym na przestrzeni funkcji całkowalnych w sensie Riemanna: jeżeli $\scriptstyle f, g$ są R-całkowalne oraz $\scriptstyle c, d \in \mathbb R,$ to funkcja $\scriptstyle cf + dg$ również jest całkowalna w sensie Riemanna i zachodzi

$\int\limits_a^b c f(x) + d g(x)\ \mathrm dx = c \int\limits_a^b f(x)\ \mathrm dx + d \int\limits_a^b g(x)\ \mathrm dx.$

Podstawowe twierdzenie rachunku całkowego

Jeśli $\scriptstyle f$ jest całkowalna w sensie Riemanna, to jest ona całkowalna na $\scriptstyle [a, x]$ dla dowolnego $\scriptstyle x \in [a, b],$ a funkcja $\scriptstyle F\colon [a,b] \to \mathbb R$ dana wzorem

$F(x) = \int\limits_a^x f(t)\; \mathrm dt$

jest ciągła na $\scriptstyle [a, b]$ i różniczkowalna w każdym punkcie ciągłości funkcji $\scriptstyle f.$

Twierdzenie Newtona-Leibniza

Jeśli $\scriptstyle f$ jest ciągła, a $\scriptstyle F$ jest jej dowolną funkcją pierwotną, to zachodzi tzw. wzór Newtona-Leibniza,

$\int\limits_a^b f(x) \mathrm dx = F(b) - F(a).$

Charakteryzacja funkcji całkowalnych

Z równoważności konstrukcji funkcja jest całkowalna w sensie Riemanna wtedy i tylko wtedy, gdy jest całkowalna w sensie Darboux; w tej części artykułu funkcje całkowalne na jeden z tych dwóch sposobów będą nazywane po prostu funkcjami całkowalnymi. Niech dana będzie funkcja $\scriptstyle f\colon [a, b] \to \mathbb R.$ Każda funkcja ciągła $\scriptstyle f$ jest całkowalna; podobnie, gdy $\scriptstyle f$ jest monotoniczna.

Dokładnego wskazania klasy funkcji całkowalnych można dokonać za pomocą teorii miary; nie mniej funkcje te można opisać definiując pojęcie nieodwołujące się do ogólnej teorii: zbiór $\scriptstyle E \subseteq \mathbb R$ nazywa się zaniedbywalnym wtedy i tylko wtedy, gdy można pokryć go (co najwyżej) przeliczalną liczbą dowolnie krótkich odcinków, tzn. dla każdego $\scriptstyle \varepsilon > 0$ istnieje (co najwyżej) przeliczalny ciąg przedziałów $\scriptstyle (I_n)$ spełniający $\scriptstyle E \subseteq \bigcup_n I_n$ oraz $\scriptstyle \sum_n |I_n| < \varepsilon$ (przykładami takich zbiorów są np. punkt, tj. zbiór jednoelementowy, dowolne zbiory skończone lub przeliczalne; kontrprzykładem jest np. odcinek, czyli przedział bądź dowolny zbiór otwarty).

Twierdzenie: Funkcja ograniczona określona na przedziale domkniętym jest całkowalna wtedy i tylko wtedy, gdy jest prawie wszędzie ciągła, tzn. zbiór jej nieciągłości jest zaniedbywalny.

Zatem jest ona tym bardziej całkowalna, gdy ma (co najwyżej) przeliczalny zbiór nieciągłości; w szczególności, gdy jest ciągła (zob. wyżej). Wprost stąd wynika, że wartość bezwzględna $\scriptstyle |f|$ funkcji całkowalnej $\scriptstyle f$ jest również całkowalna. Podobnie iloczyn (określony punktowo) $\scriptstyle fg$ dwóch funkcji całkowalnych $\scriptstyle f, g$ również jest funkcją całkowalną. Jeżeli ciąg funkcji całkowalnych $\scriptstyle (f_n)$ jest jednostajnie zbieżny do funkcji $\scriptstyle f,$ to jest ona całkowalna oraz

$\int\limits_a^b f(x)\ \mathrm dx = \lim_{n \to \infty} \int\limits_a^b f_n(x)\ \mathrm dx.$

Całka wielokrotna

Ta sekcja jest niekompletna. Jeśli możesz, rozbuduj ją.

Związek z miarą Jordana

Ta sekcja jest niekompletna. Jeśli możesz, rozbuduj ją.

Uogólnienia

Różnica ideowa między całką Riemanna/Darboux a całką Lebesgue'a: w pierwszej wprowadza się podział dziedziny, w drugiej – przeciwdziedziny funkcji.

Jako pierwsza formalnie zdefiniowana, całka Riemanna jest prototypem wszystkich innych całek, choć konstrukcje wielu z nich są daleko bardziej ogólne, niż przedstawione wyżej; nie mniej zwykle wymaga się, by dane uogólnienie całki dawało dla funkcji całkowalnej w sensie Riemanna/Darboux ten sam wynik, co całka Riemanna/Darboux nazywana dalej po prostu całką Riemanna. Pełniejszą listę całek można znaleźć w osobnym artykule.

Całka Riemanna–Stieltjesa

Zastąpienie w definicji całki Riemanna końców podprzedziałów danego podziału za pomocą ich obrazów w pewnej funkcji prowadzi do uogólnienia znanego jako całka Riemanna–Stieltjesa; dla dość szerokiej klasy funkcji jest ona równa całce Riemanna, jednak w ogólności może dawać ona różne od niej wyniki. Wykazuje ona duży związek z całkowaniem przez podstawienie znajdując zastosowanie w rachunku prawdopodobieństwa (zbudowanym w oparciu o tę całkę).

Całki Lebesgue'a, Daniella–Stone'a, Lebesgue'a–Stieltjesa

Ważnym uogólnieniem całki Riemanna jest całka Lebesgue'a, która jest równoważna z tzw. całką Daniella–Stone'a: funkcja całkowalna w sensie Riemanna jest też całkowalna w sensie Lebesgue'a (Daniella–Stone'a), a ponadto wartości obu całek wtedy są równe. Przykładem funkcji, która jest całkowalna w sensie Lebesgue'a (Daniella–Stone'a), a nie jest całkowalna w sensie Riemanna jest funkcja Dirichleta. Dalszym uogólnieniem, łączącym w sobie zalety całki Lebesgue'a i Riemanna–Stieltjesa, jest całka Lebesgue'a–Stieltjesa nazywana również całką Lebesgue'a–Radona lub po prostu całką Radona.

Całka niewłaściwa pozwala na obliczenie pola pod wykresem funkcji nieograniczonej na przedziale ograniczonym i funkcji ograniczonej na przedziale nieograniczonym.

Całka niewłaściwa

W każdej z powyższych konstrukcji problematyczne bywa całkowanie funkcji na przedziale otwartym, w szczególności gdy funkcja jest nieograniczona przy jednym z jego końców. Mówiąc o całce niewłaściwej, definiowanej jako granica całek określonych na przedziale domkniętym, którego jeden koniec dąży do końca przedziału otwartego, ma się zwykle na myśli uogólnienie całki Riemanna/Darboux. Nie mniej możliwe jest analogiczne uogólnienie całki Lebesgue'a. Rozpatrywanie całki niewłaściwej dla opisanej niżej całki Henstocka–Kurzweila nie ma sensu, gdyż standardowa wersja tej całki daje ten sam wynik, o czym mówi twierdzenie Hake'a. Oddzielnym zagadnieniem całki niewłaściwe są tzw. przedziały niewłaściwe, tzn. których końce nie muszą być liczbami rzeczywistymi.

Całka Henstocka–Kurzweila

Całka Henstocka–Kurzweila znana również jako całka Denjoy, czy Perrona (albo Denjoy–Perrona) jest pewnym uogólnieniem całki Riemanna o konstrukcji znacząco od niej nie odbiegającej. W ogólności teoria Henstocka-Kurzweila umożliwia całkowanie wszystkich funkcji całkowalnych w sensie Lebesgue'a oraz funkcji całkowalnych w sposób niewłaściwy w sensie Riemanna, co uważane jest za jej główną zaletę. Drobna zmiana definicji całki Henstocka–Kurzweila nazywana całką McShane'a jest równoważna z konstrukcji Lebesgue'a – ma ona wszystkie jej zalety, a przy tym nie wymaga ogólnego aparatu teorii miary.