Całka splotowa

Całka splotowa - obok transmitancji operatorowej, jedna z postaci opisu typu wejście-wyjście, mająca cechę jednoznaczności dla danego układu regulacji (członu, elementu).

Opis układu całką splotową wynika z własciwości przekształcenie Laplace'a. Tak zwany iloczyn splotowy czyli całka splotowa

$y(t)=\int\limits_{-\infty}^\infty u(\tau)g(t - \tau) d\tau=\int\limits_{-\infty}^\infty g(\tau)u(t - \tau) d\tau$

jest w dziedzinie czasu odpowiednikiem iloczynu transformat : $U(s)G(s)=Y (s)\,$

Zmienna $\tau\,$ jest zmienną całkowania. Podobnie jak w przypadku opisu w wykorzystaniem transmitancji wymagane jest przeprowadzenie pewnej operacji nad funkcją $g(t)\,$, która charakteryzuje układ i funkcją $u(t)\,$, która reprezentuje wymuszenie; operacja ta ma miejsce całkowicie w dziedzinie czasu.

W praktyce całkę splotową oblicza się w granicach skończonych, gdyż wymuszenie $u(t)\,$ ma sens tylko dla $t \geqslant 0$, zaś przy $u(t)=0\,$ dla $t<0\,$ także charakterystyka impulsowa $g(t)\,$ jest równa $0\,$ dla $t<0\,$, jeśli system jest przyczynowy (tzn. nie wykazuje reakcji nim nie nastąpi jego pobudzenie).

Mamy więc $u(\tau)=0\,$ dla $\tau<0\,$ oraz $g(t-\tau)=0\,$ dla $\tau>t\,$, a stąd praktyczne granice całkowania:

$y(t)=\int\limits_{0}^t u(\tau)g(t - \tau) d\tau=\int\limits_{0}^t g(\tau)u(t - \tau) d\tau$.

Uogólnienie na układy wielowymiarowe

Dla układu wielowymiarowego opisanego równaniami stanu, w których $t_{0}=\mathbf{C}\,$ a równanie wyjścia dane jest następująco: $\mathbf{y}(t)=\mathbf{C} \mathbf{x}(t)\,$ odpowiedź na wymuszenie dane jest wzorem:

$\mathbf{y}_{\delta}(t)=\int_0^t{\mathbf{K}(t-\tau)\mathbf{u}(\tau)d\tau}$

gdzie macierz odpowiedzi impulsowych

$\mathbf{K}(t)=\mathbf{C} e^{\mathbf{A}t} \mathbf{B}$

Powyższy wzór na wymuszenie układu wielowymiarowego stanowi uogólnienie całki splotowej i może też być zapisany:

$\mathbf{y} = \mathbf{K} \mathbf{u}\,$

Zobacz też

• splot (analiza matematyczna)