Całkowanie przez podstawienie

Całkowanie przez podstawienie – jedna z metod obliczania zamkniętych form całek.

Opis metody

Jeśli:

• Funkcja $\psi(x)$ jest różniczkowalna w $D$
• $I=\psi(D)$ jest przedziałem
• Funkcja $g(x)$ ma funkcję pierwotną w przedziale $I$, tzn. $G'(t) = g(t)$ dla $t$ należących do $I$
• $f(x) = g(\psi(x)) \cdot \psi'(x), x \in D$

to funkcja $f$ jest całkowalna w $D$ oraz:

$\int f(x) dx = \int g(\psi(x)) \cdot \psi'(x) dx = G(\psi(x)) + C$

Równoważnie, jeśli całkę można sprowadzić do postaci:

$\int f(g(x)) g^{\prime}(x) dx$,

to można zmienić podstawę całkowania na $g(x)$:

$\int f(g(x)) dg(x)$.

W przypadku obliczania całek oznaczonych poprzez podstawienie zmianie ulegają granice całkowania. W takim przypadku twierdzenie o całkowaniu przez podstawienie wygląda następująco:

Założenia:

• Funkcja $f$ jest całkowalna w swej dziedzinie.
• Funkcja $g$ określona na przedziale $[a; b]$ jest różniczkowalna w sposób ciągły.
• $g'(x) \ne 0$ dla każdego $x$ z przedziału $(a; b)$.
• Obraz funkcji $g$ zawiera się w dziedzinie funkcji $f$.

Wówczas:

$\int\limits_{g(a)}^{g(b)}f(x)dx = \int\limits_{a}^{b}f(g(t)) \cdot g'(t)dt$

Przykłady

• Obliczając całkę $\int \tfrac{\ln x}{x} dx$, zastosować można podstawienie $\ln x = t$, tzn.$\tfrac{dx}{x} = dt$, więc:

$\int \frac{\ln x}{x} dx = \int t \cdot dt = {1 \over 2} t^2 + C = {1 \over 2} \ln^2 x + C$.

• Przykład zastosowania metody całkowania przez podstawienie z pominięciem pomocniczej zmiennej:

$\int \sin (2x + 3) \cdot dx = \frac{1}{2} \int \sin (2x + 3) \cdot 2 dx = \frac{1}{2} \int \sin (2x + 3) \cdot d(2x + 3) = - \frac{1}{2} \cos (2x + 3) + C$.

Przydatne podstawienia

Całkowanie funkcji trygonometrycznych

Całkując funkcje wymierne funkcji trygonometrycznych (czyli funkcje postaci $R(\sin x, \cos x)$) stosuje się podstawienia pozwalające na wyeliminowanie ich z obliczeń:

• W ogólności stosować można zawsze tzw. podstawienie uniwersalne $t = \operatorname{tg}{x \over 2}$. Jeżeli jednak funkcja spełnia jeden z podanych niżej warunków, wygodniej jest stosować podstawienie z nim związane.
• Jeśli funkcja jest nieparzysta ze względu na sinus ($R(-\sin x,\cos x)=-R(\sin x,\cos x)$), stosuje się podstawienie $t = \cos x$
• Jeśli funkcja jest nieparzysta ze względu na cosinus ($R(\sin x, -\cos x) = -R(\sin x, \cos x)$), stosuje się podstawienie $t = \sin x$
• Jeśli funkcja jest parzysta ze względu na sinus i cosinus równocześnie ($R(-\sin x, -\cos x) = R(\sin x, \cos x)$), stosuje się podstawienie $t = \operatorname{tg}x$

Za pomocą jedynki trygonometrycznej oraz innych tożsamości trygonometrycznych można wyprowadzić czynniki zastępujące funkcje trygonometryczne, w szczególności w przypadku podstawienia uniwersalnego:

$t = \operatorname{tg}{x \over 2}$

${x \over 2}=\operatorname{arctg}t$

$dx = {2 \over 1+t^2}dt$

zachodzi:

$\sin x = \frac{2 \sin {x \over 2} \cos {x \over 2}}{\sin^2 {x \over 2} + \cos^2 {x \over 2}} = \frac{2 \frac{\sin {x \over 2}}{\cos {x \over 2}}}{\frac {\sin^2 {x \over 2}}{\cos^2 {x \over 2}}+1} = \frac{2t}{t^2+1}$

$\cos x = \frac{\cos^2 {x \over 2} - \sin^2 {x \over 2}}{\cos^2 {x \over 2} + \sin^2 {x \over 2}} = \frac{1-\frac{\sin^2 {x \over 2}}{\cos^2 {x \over 2}}}{1+\frac{\sin^2 {x \over 2}}{\cos^2 {x \over 2}}} = \frac{1-t^2}{1+t^2}$

W przypadku podstawienia $t = \operatorname{tg}x$ mamy dla funkcji postaci $R(\sin ^2 x, \cos ^2 x, \sin x \cos x)$: $x = \operatorname{arctg}t$, $dx=\frac{dt}{1+t^2}$

$\sin ^2 x = \frac{\sin ^2 x}{\sin ^2 x + \cos ^2 x} \cdot \frac{\cos ^2 x}{\cos ^2 x}= \frac{t^2}{t^2 + 1}$

$\cos ^2 x = \frac{\cos ^2 x}{\sin ^2 x + \cos ^2 x} \cdot \frac{\cos ^2 x}{\cos ^2 x} = \frac{1}{t^2 + 1}$

$\sin x \cos x= \frac{\sin x \cos x}{\sin ^2 x + \cos ^2 x} \cdot \frac{\cos ^2 x}{\cos ^2 x} = \frac{t}{t^2 + 1}$

Przykłady

Przykład zastosowania podstawienia uniwersalnego:

$\int \frac{dx}{1+\sin x+\cos x} = \int \frac{\frac{2}{1+t^2}dt}{1+\frac{2t}{t^2+1}+\frac{1-t^2}{1+t^2}} = \int \frac{2dt}{1+t^2+2t+1-t^2} =$

$= \int \frac{dt}{t+1} = \ln |t+1|+C = \ln |\operatorname{tg}{x \over 2} + 1|+C$

Podstawienia Eulera

Podstawienia Eulera stosujemy przy obliczaniu całek funkcji postaci $R(\sqrt{ax^2+bx+c}, x)$, gdzie R jest funkcją wymierną.

I podstawienie Eulera

I podstawienie stosować można, gdy a>0. Przyjmujemy wtedy: $\sqrt{ax^2+bx+c}=t-\sqrt{a}\;x$. Wobec tego otrzymujemy:

$ax^2+bx+c=ax^2-2\sqrt{a}\;x\;t+t^2 \implies x(b+2\sqrt{a}\;t)=t^2-c \implies x=\frac{t^2-c}{b+2\sqrt{a}\;t}$,

$dx=\frac{2t(b+2\sqrt{a}\;t)-2\sqrt{a}\;(t^2-c)}{(b+2\sqrt{a}\;t)^2}dt$.

Zgodnie z przyjętym podstawieniem, mamy: $\sqrt{ax^2+bx+c}=\sqrt{a}\;\frac{c-t^2}{b+2\sqrt{a}\;t}+t$.

II podstawienie Eulera

II podstawienie stosować można, gdy c>0. Przyjmujemy wówczas: $\sqrt{ax^2+bx+c}=xt+\sqrt{c}$. Mamy zatem:

$ax^2+bx+c=x^2t^2+2\sqrt{c}xt+c \implies ax+b=xt^2+2\sqrt{c}t \implies x(a-t^2)=2\sqrt{c}t-b \implies x=\frac{2\sqrt{c}t-b}{a-t^2}$,

$dx=\frac{2\sqrt{c}(a-t^2)+2t(2\sqrt{c}t-b)}{(a-t^2)^2}dt$.

Zgodnie z przyjętym podstawieniem, otrzymujemy: $\sqrt{ax^2+bx+c}=\frac{2\sqrt{c}t^2-bt}{a-t^2}+\sqrt{c}$.

III podstawienie Eulera

III podstawienie stosować można, gdy istnieją dwa różne pierwiastki rzeczywiste x₀, x₁ trójmianu $ax^2+bx+c$. Przyjmujemy wtedy: $\sqrt{ax^2+bx+c}=\sqrt{a(x-x_0)(x-x_1)}=t(x-x_1)$. Stąd:

$(x-x_1)t^2=a(x-x_0) \implies x(t^2-a)=t^2x_1-ax_0 \implies x=\frac{t^2x_1-ax_0}{t^2-a}$,

$dx=\frac{2ta(x_0-x_1)}{(t^2-a)^2}dt$.

Zgodnie z przyjętym podstawieniem, mamy: $\sqrt{ax^2+bx+c}=t\left( \frac{t^2x_1-ax_0}{t^2-a}-x_1\right)$

Całkowanie różniczek dwumiennych

Różniczka dwumienna jest to wyrażenie postaci: $x^m(a+bx^n)^pdx$, gdzie $a$ i $b$ są niezerowymi liczbami rzeczywistymi oraz $m, n$ i $p$ są pewnymi liczbami wymiernymi. Niech ponadto $p = \frac{q}{r}$, gdzie $q, r$ są liczbami całkowitymi. Twierdzenie Czebyszewa mówi, iż całkę

$\int x^m(a+bx^n)^p~dx$

można wyrazić za pomocą skończonej liczby funkcji elementarnych jedynie w trzech przypadkach:

• gdy $p$ jest liczbą całkowitą; przypadek nie wymaga podstawień.
• gdy $\frac{m+1}{n}$ jest liczbą całkowitą; stosuje się wtedy podstawienie $t=\sqrt[r]{a+bx^n}$.
• gdy $\frac{m+1}{n}+p$ jest liczbą całkowitą; stosuje się podstawienie $t=\sqrt[r]{\frac{a+bx^n}{x^n}}$.

Podstawienia trygonometryczne

Poniższe typy całek można sprowadzić do całek funkcji wymiernych, których argumentami są funkcje trygonometryczne, przy pomocy podanych podstawień:

• $\int R(x,\sqrt{x^2+a^2})dx$ - podstawiamy $x = a \operatorname{sinh} t$ lub $x = a \operatorname{tan} t$
• $\int R(x,\sqrt{x^2-a^2})dx$ - podstawiamy $x = a \operatorname{cosh} t$ lub $x = a \operatorname{sec} t$
• $\int R(x,\sqrt{a^2-x^2})dx$ - podstawiamy $\ x = a \tanh t$ lub $\ x = a \sin t$

Inne podstawienia

• Całki typu $\int R(e^x)dx$ obliczamy przez podstawienie $\ e^x = t$. Stąd: $\ x = \ln{t}, \quad dx = \frac{dt}{t}$.
• Całki typu $\int R\left(x, \left(\frac{ax+b}{cx+d}\right)^{p_1}, \left(\frac{ax+b}{cx+d}\right)^{p_2}, \cdots, \left(\frac{ax+b}{cx+d}\right)^{p_n}\right)dx$, gdzie p₁, p₂, ..., p_n są liczbami wymiernymi, sprowadzamy do całki funkcji wymiernej podstawiając $\frac{ax+b}{cx+d} = t^k$, gdzie k jest najmniejszym wspólnym mianownikiem liczb p₁, p₂, ..., p_n.

Zobacz też

• całkowanie przez części