Całkowy sinus hiperboliczny

Całkowy sinus hiperboliczny - funkcja specjalna zdefinowana jako całka stosunku sinusa hiperbolicznego do jego argumentu, tj. w sposób:

$\; {\rm shi}\, (x) \; \stackrel{\rm df}{=} \, \int\limits_0^x \frac{{\rm sh} \, (t)}{t} \, dt \;$

W punkcie osobliwym funkcji podcałkowej, tj. dla $\; t = 0 \;$ za jej wartość przyjmuje się jej granicę, gdy $\; t \to 0 \;$ . Funkcja specjalna całkowy sinus hiperboliczny została wprowadzona, gdyż całka funkcji podcałkowej nie wyraża się w kwadraturach.

Biorąc pod uwagę, że

$\; {\rm sh} \, (t) \; \stackrel{\rm df}{=} \; \frac{e^t - e^{-t}}{2} \;$

widać wyraźnie, że całkowy sinus hiperboliczny związany jest z funkcją całkowo-wykładniczą zdefiniowaną w sposób:

$\; {\rm Ei}\, (x) \; \stackrel{\rm df}{=} \int\limits_{- \infty}^x \frac{\exp \, (t)}{t} \, dt \;$

Całkowy sinus hiperboliczny występuje w postaci rozwiązań równań różniczkowych opisujacych niektóre zagadnienia fizyki i mechaniki ośrodków ciągłych (np. przepływ niektórych cieczy nienewtonowskich w rurach i szczelinach).