Ciąg dokładny

Niech $\{\,G_i\,\}$ będzie ciągiem grup oraz $\varphi_i : G_i \rightarrow G_{i + 1}$ - ciągiem homomorfizmów:

$\cdots \xrightarrow{\varphi_{n - 1}}\, G_n\, \xrightarrow{\varphi_n} \,G_{n + 1}\, \xrightarrow{\varphi_{n + 1}} \cdots$

Ten ciąg grup i homomorfizmów nazywamy ciągiem dokładnym, jeśli obraz każdego homomorfizmu jest równy jądru następnego homomorfizmu:

$\mathrm{im}\, \varphi_n = \mathrm{ker}\, \varphi_{n + 1}$

gdzie

$\mathrm{im}\, \varphi_n = \{\varphi(g): g \in G_n\}$,

$\mathrm{ker}\, \varphi_{n + 1} = \{g \in G_{n + 1}: \varphi(g) = e_{n + 2}\}$,

$\,e_n\,$ jest elementem neutralnym grupy $\,G_n\,$.

Ciągi dokładne określa się dla innych niż grupy struktur algebraicznych, na przykład dla modułów, jeśli są one grupami ze względu na jedno z działań.

Ciąg dokładny w kategorii abelowej

Ciąg

$\cdots \xrightarrow{\alpha_{n - 1}}\, A_n\, \xrightarrow{\alpha_n} \,A_{n + 1}\, \xrightarrow{\alpha_{n + 1}} \,A_{n + 2}\, \cdots$

obiektów kategorii abelowej $\mathfrak{A}$ i morfizmów $\,\alpha_n\,$, takich że

$\mathrm{Ker} \,\alpha_{n + 1}\, = \mathrm{Im} \,\alpha_n\,$

jest nazywany ciągiem dokładnym.

Przykłady

• Niech $\mathrm{1}$ oznacza grupę jednoelementową (składającą się tylko z elementu neutralnego). Wtedy dokładność ciągu:

$\mathrm{1} \rightarrow G \xrightarrow{\varphi} H$ oznacza, że $\varphi$ jest monomorfizmem, bo $\mathrm{ker}\, \varphi = 1$, gdzie 1 jest elementem neutralnym grupy H,

$G \xrightarrow{\varphi} H \rightarrow \mathrm{1}$ oznacza, że $\varphi$ jest epimorfizmem, bo $\mathrm{im}\, \varphi = H$

$\mathrm{1}\rightarrow G \xrightarrow{\varphi} H\rightarrow \mathrm{1}$ oznacza, że $\varphi$ jest izomorfizmem, co wynika z dwóch poprzednich przykładów.

• Niech grupa G zawiera nietrywialną podgrupę normalną G₀. Wtedy ciąg dokładny

$1 \rightarrow G_0 \rightarrow G \rightarrow G_1 \rightarrow 1$

nazywa się rozszerzeniem grupy $\,G_1\,$ za pomocą grupy $\,G_0\,$. Badanie rozszerzeń grupy sprowadza się do badania grup: podgrupy $\,G_0\,$ oraz faktorgrupy $\,G_1\,=\,G/G_0$'.

• Kompleks łańcuchowy

$\dots \leftarrow K_{n - 1} \xleftarrow{\partial_n} K_n \xleftarrow{\partial_{n + 1}} K_{n + 1} \leftarrow \dots$

jest dokładny wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego n spełniona jest równość

$\operatorname{ker} (\partial_n) = \operatorname{im} (\partial_{n + 1})$,

to znaczy, gdy dla wszystkich n zachodzi równość $H_n K = 0.\;$.

Zatem homologie można interpretować jako miarę odchylenia kompleksu od dokładności. Kompleks dokładny nazywany jest kompleksem acyklicznym (nie ma w nim żadnych cykli poza brzegami).

• Dla przekształcenia łańcuchowego $f: K_{\bullet} \rightarrow L_{\bullet}$ kategorii $\partial \mathcal{AG}$ kompleksy $L_{\bullet}$, stożek $Cf_{\bullet}$ i zawieszenie $K^{+}_{\bullet}$ ze sobą związane krótkim ciągiem dokładnym:

$0 \rightarrow L_{\bullet} \xrightarrow{\iota} Cf_{\bullet} \xrightarrow{\kappa} K^{+}_{\bullet} \rightarrow 0$,

gdzie $\iota y = (y, 0)\;$ i $\kappa (y, x) = x\;$

Bibliografia

1. Кириллов А. А.: Теория представлений. Москва: Наука, 1978. 
2. Stanisław Balcerzyk, Tadeusz Józefiak: Pierścienie przemienne. Warszawa: PWN, 1985. ISBN 83-01-04874-3. 
3. Виноградов И. М. (red.): Математическая энциклопедия. T. 5. Москва: Советская энциклопедия, 1985. 
4. Dold A.: Lectures on algebraic topology. Berlin Heidelberg New York: Springer Verlag, 1972.