Ciało liczbowe

Ciało liczbowe - w matematyce każde ciało będące skończonym rozszerzeniem algebraicznym ciała liczb wymiernych $\mathbb Q$ . Innymi słowy, jest to ciało zawierające $\mathbb Q$ jako podciało oraz którego wymiar jako przestrzeni wektorowej nad $\mathbb Q$ jest skończony.

Badanie własności ciał liczbowych jest głównym motywem algebraicznej teorii liczb.

[edytuj] Stopień, reprezentacja regularna, ślad i norma

Każde ciało liczbowe $K$ jest przestrzenią liniową nad $\mathbb Q$ , które jest jego podzbiorem. Wymiar tej przestrzeni oznaczamy jako $[K:\mathbb Q]$ i nazywamy stopniem rozszerzenia ciała $K$ , z zaznaczeniem, o ile to nie jest jasne z kontekstu, że chodzi o stopień rozszerzenia liczb wymiernych lub krótko stopień nad $\mathbb Q$ .

Załóżmy, że $K$ jest ciałem liczbowym o stopniu rozszerzenia (nad $\mathbb Q$ ) równym $n$ . Ponieważ $K$ jest $n$ -wymiarową przestrzenią wektorową nad $\mathbb Q$ , to możemy wybrać (na ogół na wiele sposobów) bazę $e_1, e_2, ..., e_n \in K$ tej przestrzeni. Jak wiadomo z elementarnej algebry liniowej, każdy element $x \in K$ ma jednoznaczną reprezentację w tej bazie, tzn. jednoznacznie wyznaczony ciąg $x_1, x_2, ..., x_n \in \mathbb Q$ taki, że $x_1e_1+x_2e_2+...+x_ne_n = x$ . Reprezentacja regularna elementu $x$ to macierz $A=\{a_{ij}\}$ , która powstaje poprzez pomnożenie go przez poszczególne elementy bazy:

$x e_i = \sum_{j=1}^n a_{ij} e_j, \quad a_{ij}\in\mathbb{Q}.$

Łatwo pokazać, że dla dwóch elementów $x,y \in K$ i ich reprezentacji regularnych $A(x), A(y)$ , zachodzi $A(xy)=A(x)A(y)$ , tzn. mnożeniu elementów odpowiada mnożenie macierzy je reprezentujących. Ponadto można udowodnić, że niezmienniki owych macierzy, takie jak ślad i wyznacznik i wielomian charakterystyczny nie zależą od wyboru konkretnej bazy $\{e_i\}$ , a tylko od elementu $x \in K$ . Tak więc możemy przyjąć poniższe definicje śladu i normy elementu ciała algebraicznego: