Część wspólna

Część wspólna zbiorów (czasami przekrój zbiorów albo iloczyn mnogościowy zbiorów) − dla zbiorów A i B zbiór który zawiera te i tylko te elementy, która należą jednocześnia do zbioru A i do zbioru B. Część wspólną definiuje się także dla dowolnych, niepustych rodzin zbiorów.

Definicje

Przekrój zbiorów A i B

Część wspólna (przekrój, iloczyn mnogościowy, przecięcie) zbiorów $A$ i $B$ to zbiór, do którego należą te elementy zbioru $A$, które należą również do $B$. Część wspólna zbiorów $A$ i $B$ jest oznaczana przez $A\cap B$. Tak więc:

$A\cap B=\{x:x\in A\wedge x\in B\}$.

Część wspólną można zdefiniować także dla dowolnej, niepustej rodziny zbiorów: jeżeli $\mathcal{A}$ jest niepustą rodzinę zbiorów, to jej część wspólną definiuje się jako zbiór

$\bigcap {\mathcal A} = \{x:(\forall A \in \mathcal A)(x\in A)\}$.

Podobnie dla indeksowanej rodziny zbiorów $(A_i)_{i\in I}$, gdzie zbiór indeksów $I$ jest niepusty, część wspólną definiuje się jako

$\bigcap_{i\in I} A_i = \{a : (\forall i \in I)(a\in A_i)\}.$

Przykłady

• Niech ${\mathbb N}$ będzie zbiorem liczb naturalnych, a $P$ niech będzie zbiorem parzystych liczb całkowitych. Wówczas ${\mathbb N}\cap P$ jest zbiorem wszystkich parzystych liczb naturalnych, tzn.

${\mathbb N}\cap P=\{n\in {\mathbb N}:2$ dzieli $n\}$.

• $(0,1)\cap [1,2]=\varnothing$, ale $[0,1]\cap [1,2]=\{1\}$
• $\bigcap\limits_{n\in {\mathbb N}} (1-\frac{1}{n+1},1+\frac{1}{n+1})=\{1\}$
• Niech ${\mathfrak A}$ będzie rodziną wszystkich otwartych przedziałów o końcach wymiernych zawierających odcinek $[\sqrt{2},\sqrt{5})$. Wówczas

$\bigcap {\mathfrak A}=[\sqrt{2},\sqrt{5}]$.

Własności

Operacje skończone

Dla dowolnych zbiorów $A,B,C$ zachodzą następujące równości:

• $\bigcap \{ A\} = A =A\cap A$,
• $\bigcap \{ A, B\} = A \cap B$,
• $(A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C)$     (łączność),
• $A \cap B = B \cap A$     (przemienność),
• $(A \cap B) \cup C = (A \cup C) \cap (B\cup C)$ oraz $(A \cup B) \cap C = (A \cap C) \cup (B\cap C)$     (rozdzielność każdego z dwóch działań, przekroju i sumy, względem drugiego,
• $C\setminus (A\cap B)=(C\setminus A)\cup (C\setminus B)$ (prawo De Morgana).

Ponadto,

• $A\subseteq B$ wtedy i tylko wtedy, gdy $A\cap B = A$.

Operacje nieskończone

Własności przekroju skończenie wielu zbiorów uogólniają się na przekrój rodzin indeksowanych zbiorów. Niech $\{A_i:i\in I\}$, $\{B_i:i\in I\}$ oraz $\{ C_{j,k}:j\in J\ \wedge\ k\in K\}$ będą indeksowanymi rodzinami zbiorów, gdzie zbiory indeksów $I,J,K$ są niepuste. Niech $D$ będzie dowolnym zbiorem. Wówczas

• $\bigcap\limits_{i\in I} (A_i\cap B_i)=\bigcap\limits_{i\in I} A_i\cap \bigcap\limits_{i\in I} B_i$
• $\bigcap\limits_{i\in I} A_i\cup \bigcap\limits_{i\in I} B_i\subseteq \bigcap\limits_{i\in I} (A_i\cup B_i)$
• $D\cap \bigcap\limits_{i\in I} A_i=\bigcap\limits_{i\in I} (A_i\cap D)$
• $D\cup \bigcap\limits_{i\in I} A_i=\bigcap\limits_{i\in I} (A_i\cup D)$
• $D\setminus \bigcap\limits_{i\in I} A_i=\bigcup\limits_{i\in I} D\setminus A_i$
• $\bigcap\limits_{j\in J}\bigcap\limits_{k\in K} C_{j,k}=\bigcap\limits_{k\in K}\bigcap\limits_{j\in J} C_{j,k}$
• $\bigcup\limits_{j\in J}\bigcap\limits_{k\in K} C_{j,k}\subseteq\bigcap\limits_{k\in K}\bigcup\limits_{j\in J} C_{j,k}$

Następującą formułę przytaczamy jako ciekawostkę w pewnym sensie ilustrującą dlaczego zapis z rodzinami indeksowanymi jest czytelniejszy. Niech ${\mathfrak A}$ będzie niepustą rodziną (rodzin) zbiorów. Wówczas

• $\bigcap(\bigcup {\mathfrak A}) = \bigcap \{\bigcap A : A\in {\mathfrak A}\}.$

Na przykład niech $\mathfrak{A} = \{\mathcal{A}_1, \mathcal{A}_2\}$, gdzie $\mathcal{A}_1 = \{A_1, A_2\}$ oraz $\mathcal{A}_2 = \{A_3, A_4\}$. Wtedy z jednej strony:

$\bigcap(\bigcup {\mathfrak A}) = \bigcap \{A_1, A_2, A_3, A_4\} = A_1 \cap A_2 \cap A_3 \cap A_4$,

a z drugiej

$\bigcap \{\bigcap A : A\in {\mathfrak A}\} = \bigcap \{A_1 \cap A_2, A_3 \cap A_4\} = A_1 \cap A_2 \cap A_3 \cap A_4$.

Przekrój a obrazy i przeciwobrazy

Dla dowolnej funkcji $f : X\longrightarrow Y$, dowolnej rodziny indeksowanej $\{A_i:i\in I\}$ podzbiorów zbioru $X$ oraz dla dowolnej rodziny indeksowanej $\{B_j:j\in J\}$ podzbiorów zbioru $Y$, zachodzą następujące dwa stwierdzenia:

• $\bigcap \{f^{-1}[B_j]: j\in J\} = f^{-1}[\bigcap\limits_{j\in J} B_j]$ (inaczej mówiąc, przeciwobraz przekroju jest przekrojem przeciwobrazu);
• $f[\bigcap\limits_{i\in I} A_i]\subseteq \bigcap\limits_{i\in I} f[A_i]$ (czyli obraz przekroju jest zawarty w przekroju obrazów).

Część wspólna zbiorów w rodzinie wszystkich podzbiorów ustalonego zbioru

Jeśli wszystkie rozważane zbiory są podzbiorami ustalonego $U$ (tzw. uniwersum) oraz ${\mathcal P}({\mathbf U})$ jest rodziną wszystkich podzbiorów zbioru $U$, to

$({\mathcal P}({\mathbf U}),\cup,\cap,\setminus,\varnothing,{\mathbf U})$

jest ciałem zbiorów (ogólniej: algebrą Boole'a). Algebra Boole'a ta jest zupełna. Zbiór $U$ jest elementem neutralnym operacji części wspólnej $\cap$.

Zapis

$\bigcap \mathcal{A}$,

gdy $\mathcal{A}=\varnothing$ (tzn. gdy $\mathcal{A}$ jest rodziną pustą) nie ma matematycznego sensu.

Bibliografia

1. K. Kuratowski, A. Mostowski: Teoria mnogości. Wyd. 2. PWN, 1966. 
2. K. Kuratowski: Wstęp do teorii mnogości i topologii. Wyd. 7. PWN, 1977. 
3. H. Rasiowa: Wstęp do matematyki współczesnej. Wyd. 3. PWN, 1971. 

Zobacz też

• iloczyn kartezjański,
• prawa De Morgana,
• suma zbiorów,
• różnica zbiorów.