Czasoprzestrzeń Minkowskiego

Czasoprzestrzeń Minkowskiego – przestrzeń liniowa w fizyce i matematyce, która łącząc czas z przestrzenią trówymiarową umożliwia formalny zapis równań szczególnej teorii względności Einsteina. Nazwę zawdzięcza niemieckiemu matematykowi Hermannowi Minkowskiemu, który opisał ją w 1907.

Ujęcie matematyczne

W tym artykule obowiązuje konwencja sumacyjna Einsteina.

Czasoprzestrzeń Minkowskiego formalnie jest czterowymiarową przestrzenią liniową $M$ nad ciałem liczb rzeczywistych, w której zdefiniowana jest forma (funkcjonał) $\langle \cdot, \cdot \rangle$, nazywana iloczynem wewnętrznym, spełniająca warunki:

1. dwuliniowości:

   $\langle a\mathbf u + \mathbf v, \mathbf w \rangle = a\langle \mathbf u, \mathbf w \rangle + \langle \mathbf v, \mathbf w \rangle$ dla wszystkich $a \in \mathbb R, \mathbf u, \mathbf v, \mathbf w \in M$

2. symetryczności:

   $\langle \mathbf v, \mathbf w \rangle = \langle \mathbf w, \mathbf v \rangle$

3. niezdegenerowania:

   jeśli dla wszystkich $\mathbf w$ $\langle \mathbf v, \mathbf w \rangle = 0$, to $\mathbf v = 0$

Warunek 3. jest osłabieniem warunku dodatniej określoności (każdy funkcjonał dodatnio określony jest niezdegenerowany, ale nie na odwrót). Iloczyn zewnętrzny pozwala zdefiniować "długość" wektora wzorem

$|\mathbf u|^2 = \langle \mathbf u, \mathbf u \rangle$

Wektory jednostkowe oznaczone są symbolem $\mathbf e$, przy czym z definicji $|\mathbf e| = 1$. Punkt p czasoprzestrzeni utożsamia się z wektorem $\mathbf x$ o czterech współrzędnych $\mathbf x^\mu, \mu = (0, 1, 2, 3)$

$\mathbf x = \mathbf x^\mu\mathbf e_\mu$

gdzie $\mathbf e_\mu$ są czterema liniowo niezależnymi wektorami jednostkowymi. Powtarzający się wskaźnik oznacza sumowanie po nim od 0 do 3 (tzw. umowa sumacyjna Einsteina). Długość dowolnego wektora podniesiona do kwadratu jest wyrażona wzorem

$|\mathbf x|^2 = \langle \mathbf x^\mu\mathbf e_\mu, \mathbf x^\nu\mathbf e_\nu \rangle = \mathrm g_{\mu\nu}\mathbf x^\mu\mathbf x^\nu$,

gdzie $\mathrm g$ jest tensorem metrycznym zdefiniowanym przez wszystkie formy dla wektorów jednostkowych

$\mathrm g_{\mu\nu}= \langle \mathbf e_\mu, \mathbf e_\nu \rangle$

Odległość między dwoma punktami o współrzędnych $(\mathbf x + d\mathbf x)^\mu$ i $\mathbf x^\mu$ określa odległość (interwał czasoprzestrzenny)

$d\mathbf s^2 = \mathrm g_{\mu\nu} d\mathbf x^\mu d\mathbf x^\nu$

Tensor metryczny określony jest przez macierz

$\mathrm g_{\mu\nu}= \eta_{\mu\nu}= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}$

W jawnej postaci długość wektora $\mathbf z$ to

$|\mathbf x|^2 = (\mathbf x^0)^2 - (\mathbf x^1)^2 - (\mathbf x^2)^2 - (\mathbf x^3)^2$.

Wektor $\mathbf x$ nazywa się:

• czasopodobnym, jeżeli $|\mathbf x|^2 > 0$,
• przestrzennopodobnym, jeżeli $|\mathbf x|^2 < 0$,
• światłopodobnym lub zerowym, jeżeli $|\mathbf x|^2 = 0$.

W przestrzeni tej może istnieć więcej niż jeden wektor zerowy. Zbiór wektorów światłopodobnych nazywa się stożkiem świetlnym. Jest to zbiór punktów czasoprzestrzeni, które można połączyć promieniem świetlnym, $\mathbf x^0 = ct$, gdzie $c$ jest prędkością światła w próżni, poprzez przyrównanie wartości interwału czasoprzestrzennego do zera (w przestrzeni trójwymiarowej dzieli je pewna odległość). Wzajemna widoczność dwóch obiektów oznacza, że znajdują się one we wnętrzu stożka świetlnego obserwatora.

Odległość w czasoprzestrzeni niezmiennicza jest względem transformacji Poincarégo danej wzorem

$\mathbf x^\mu \mapsto {x'}^\mu = \Lambda^\mu_\nu \mathbf x^\nu + \mathbf a^\mu$.

Zbiór takich transformacji parametryzowanych za pomocą macierzy $\Lambda$ i wektora translacji $\mathbf a$ tworzy grupę Poincarégo. Zachowanie odległości w czasoprzestrzeni narzuca warunki

$\mathrm g_{\mu\nu} \Lambda^\mu_\rho \Lambda^\nu_\tau = \mathrm g_{\rho\tau}$.

Są to macierze Lorentza, które zawierają transformację Lorentza współrzędnych czasu i przestrzeni. Tworzą one grupę Lorentza, która jest podgrupą grupy Poincarégo:

$\mathbf x^\mu \to {\mathbf x'}^\mu = \Lambda^\mu_\nu \mathbf x^\nu$.

Ponieważ transformacja Poincarego zawiera dodatkową translację, również to przekształcenie tworzy osobną podgrupę:

$\mathbf x^\mu \to {\mathbf x'}^\mu = \mathbf \mathbf x^\mu + \mathbf a^\mu$.

Wszystkie są ciągłymi grupami Liego. Grupa translacji parametryzowana jest przez cztery parametry rzeczywiste, a grupa Lorentza przez sześć. Symetrie te zgodnie z twierdzeniem Noether prowadzą do odpowiednich praw zachowania w fizyce.

Ruch w czasoprzestrzeni Minkowskiego opisuje trajektoria $\mathbf x^\mu(\tau)$, gdzie $\tau$ jest parametrem niezmienniczym (tzn. nie jest czasem). Np. można zdefiniować $c d\tau = d\mathbf s$, gdzie $\mathbf s$ jest interwałem czasoprzestrzennym, $\tau$ nazywa się czasem własnym.

$d \tau = dt \sqrt{1 - \frac{\mathbf v^2}{c^2}}.$

Analogicznie do wektora prędkości w przestrzeni trójwymiarowej zdefiniować można czterowektor prędkości

$\mathbf u^\mu = \frac{d\mathbf x^\mu}{d\tau} = \left\{\frac{c}{\sqrt{1 - \frac{\mathbf v^2}{c^2}}}, \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{\mathbf v^2}{c^2}}} \frac{d\mathbf x^i}{dt}\right\}$

i czterowektor pędu

$\mathbf p^\mu = m \mathbf u^\mu$.

Wektor pędu ($\mu = i = \{1, 2, 3\}$) w fizyce relatywistycznej ma postać

$\mathbf p^i = m \mathbf u^i = \frac{m}{\sqrt{1 - \frac{\mathbf v^2}{c^2}}} \frac{d\mathbf x^i}{dt} = m(\mathbf v)\frac{d\mathbf x^i}{dt}$

identyczną jak fizyce nierelatywistycznej, jeżeli zamienimy masę spoczynkową $m$ na masę relatywistyczną

$m(v)=\frac{m}{\sqrt{1 - \frac{\mathbf v^2}{c^2}}}.$

Wielkości te nie są niezależne

$\mathbf u^\mu u_\mu = \mathrm g_{\mu\nu}\mathbf u^\mu \mathbf u^\nu = c^2$

i podobnie

$\mathbf p^\mu \mathbf p_\mu = \mathrm g_{\mu\nu} \mathbf p^\mu \mathbf p^\nu = m^2 c^2$

Stąd otrzymujemy związek

$\mathbf p_0 = \frac{E_\mathbf p}{c} = \pm \sqrt{\mathbf p^2 + m^2 c^2}$

Historia

Minkowski wprowadził pojęcie czasoprzestrzeni, którego używał w swoim opisie Einstein.

Przyjął, że osie układu współrzędnych będą oznaczane przez x z indeksem xⁱ, i= {1,2,3,4}. Współrzędne przestrzenne i czas przekształcają się na nowe współrzędne w następujący sposób:

$x^1 = x \,$

$x^2 = y \,$

$x^3 = z \,$

$x^4 = ict \,$

gdzie $i = \sqrt{-1} \,$

W przestrzeni tej "odległość" (interwał czasowoprzestrzenny) określony jest tak jak odległość w trójwymiarowej przestrzeni:

$S^2 = (x^1)^2 + (x^2)^2 +(x^3)^2 + (x^4)^2 \,$

Przestrzeń ta nie jest jednak przestrzenią rzeczywistą, bo współrzędna odpowiadająca czasowi jest wielkością urojoną. Zespolona współrzędna czasowa powoduje także, że metryka czasoprzestrzeni jest inna niż przestrzeni euklidesowej.