Dobry porządek

Dobry porządek na danym zbiorze $X$ to porządek liniowy na $X$ taki, że każdy niepusty podzbiór zbioru $X$ ma element najmniejszy (ze względu na ten porządek).

Przykładem porządku liniowego, który nie jest dobrym porządkiem, jest standardowo uporządkowany zbiór liczb całkowitych (podobnie liczb rzeczywistych), gdyż w zbiorze tym nie ma najmniejszego elementu.

Pojęcie dobrego porządku ma ścisły związek z pojęciem indukcji matematycznej. Pojęcie indukcji można mianowicie stosować we wszystkich zbiorach dobrze uporządkowanych.

Twierdzenie Zermelo, mówiące o tym, że każdy zbiór można dobrze uporządkować jest równoważne aksjomatowi wyboru.

Przykłady

• Liczby $1, ..., 100$ ze standardowym porządkiem.
• Zbiór liczb naturalnych $\mathbb N$ ze standardowym porządkiem.
• $X=\mathbb N\cup\{a\}$, gdzie liczby naturalne porównujemy normalnie, natomiast $a$ jest elementem większym od dowolnej liczby naturalnej.
• Zbiór liczb naturalnych $\mathbb N$ z następującym (niestandardowym) porządkiem:

$0 < 2 < 4 < \dots < 1 < 3 < 5 < \dots$ .