Dopełnienie algebraiczne

Niniejszy artykuł jest częścią cyklu macierze.

Niektóre typy macierzy macierz diagonalna macierz dodatnio określona macierz elementarna macierz hermitowska macierz idempotentna macierz jednostkowa macierz klatkowa macierz nieosobliwa macierz nilpotentna macierz ortogonalna macierz osobliwa macierz rzadka macierz schodkowa macierz skalarna macierz symetryczna macierz trójkątna macierz unitarna macierz wstęgowa macierz zerowa Operacje na macierzach mnożenie przez skalar dodawanie i odejmowanie mnożenie macierzy odwracanie macierzy transpozycja macierzy sprzężenie macierzy operacje elementarne macierz dopełnień algebraicznych macierz dołączona diagonalizacja postać Jordana Inne zagadnienia wyznacznik macierzy ślad macierzy widmo macierzy minor macierzy rząd macierzy wielomian charakterystyczny

edytuj ten szablon

Dopełnienie algebraiczne - w algebrze liniowej dopełnienie algebraiczne elementu $\scriptstyle a_{ij}$ danej macierzy kwadratowej $A\;$ stopnia $\scriptstyle n$ jest to iloczyn $\scriptstyle (-1)^{i+j}$ oraz minora $\scriptstyle M_{ij}$ czyli wyznacznika podmacierzy stopnia $\scriptstyle n-1$ powstałego z usunięcia $\scriptstyle i$-tego wiersza oraz $\scriptstyle j$-tej kolumny macierzy $A\;$.

Dopełnienie algebraiczne elementu $a_{ij}\;$ macierzy $A\;$ oznacza się często symbolem $A_{ij}\;$, a macierz

$\begin{bmatrix} A_{11} & A_{12} & \cdots & A_{1n} \\ A_{21} & A_{22} & \cdots & A_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ A_{n1} & A_{n2} & \cdots & A_{nn} \end{bmatrix},$

złożoną z dopełnień algebraicznych (oznaczaną $[A_{ij}]\;$), nazywa się macierzą dopełnień algebraicznych macierzy $A\;$.

Przykład

Dana jest macierz:

$A=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 & -2 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \\ -1 & 1 & -3\end{bmatrix}$

Dopełnienia algebraiczne elementów $a_{11}$ oraz $a_{23}$ tej macierzy wynoszą, odpowiednio:

$A_{{\color{red} 1}{\color{blue} 1}} = (-1)^{{\color{red} 1} + {\color{blue} 1}} \cdot \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & -3 \end{vmatrix} = -1$

$A_{{\color{OliveGreen} 2}{\color{Brown} 3}} = (-1)^{{\color{OliveGreen} 2}+{\color{Brown} 3}} \cdot \begin{vmatrix} 1 & -2 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} = 1$

Zobacz też

• Macierz dołączona

Linki zewnętrzne

• Artykuł o dopełnieniu algebraicznym (ang.) w MathWorld