Dyfeomorfizm

Obraz siatki prostokątnej na kwadracie w przekształceniu dyfeomorficznym kwadratu na siebie.

Dyfeomorfizm – rodzaj odwzorowania różniczkowalnego w analizie matematycznej będącego izomorfizmem rozmaitości różniczkowalnych gładkiego i takiego, że odwrotne do niego też jest gładkie.

Definicja

Niech $X, Y$ będą przestrzeniami unormowanymi oraz $D$ niepustym podzbiorem $X$. Przekształcenie $F\colon D \to Y$ nazywamy dyfeomorfizmem, jeśli

1. $D$ oraz jego obraz $F(D)$ są zbiorami otwartymi (czyli $F$ jest odwzorowaniem otwartym),
2. $F$ jest funkcją odwracalną,
3. $F$ i $F^{-1}$ są klasy $C^1$.

Z powyższej definicji wynika, że jeśli $F$ jest dyfeomorfizmem, to $F$ i $F^{-1}$ są odwzorowaniami regularnymi. Inaczej, każde odwracalne odwzorowanie regularne jest dyfeomorfizmem. Każdy dyfeomorfizm jest homeomorfizmem.

W szczególnym przypadku, gdy $X=\mathbb{R}^n, Y=\mathbb{R}^k$, dyfeomorfizm to po prostu homeomorfizm klasy $C^1$ o różniczce maksymalnego rzędu, którego funkcja odwrotna jest klasy $C^1$ w $F(D)$.

Dyfeomorfizm przywiedlny

Niech $D$ będzie otwartym podzbiorem $\mathbb{R}^m$. Mówimy że dyfeomorfizm $\Phi=(\varphi_1,\ldots,\varphi_m)\colon D\to \mathbb{R}^m$ jest przywiedlny, jeśli istnieją takie $i,j\leqslant m$, że $\varphi_i(x_1,\ldots,x_m)=x_j$ dla $(x_1,\ldots, x_m)\in D$.

Dyfeomorfizmy przywiedlne znajdują zastosowanie w dowodzie twierdzenia o całkowaniu przez podstawienie dla funkcji całkowalnych w sensie Lebesgue'a.

Dyfeomorfizm zachowujący orientację

Funkcja $\varphi\colon (a,b)\to (\alpha, \beta)$ jest dyfeomorfizmem, gdy jest bijekcją klasy $C^1$, taką że $\varphi^\prime(t)\neq 0$ dla $t\in (a,b)$ (por. definicję dla $X=Y=\mathbb{R}$). Dyfeomorfizm $\varphi$ zachowuje orientację (osi liczbowej), jeśli $\varphi^\prime>0$ i zmienia orientację w przeciwnym wypadku, tzn. gdy $\varphi^\prime<0.$

Prawdziwe jest następujące twierdzenie teorii hiperpowierzchni dla dyfeomorfizmów zachowujących orientację:

Twierdzenie

Niech $G$ będzie otwartym podzbiorem $\mathbb{R}^n$, $\Gamma\colon [a,b]\to G$ będzie drogą kawałkami gładką oraz $\varphi\colon (a,b)\to (\alpha, \beta)$ będzie dyfeomorfizmem. Wówczas dla każdej formy $\Omega\in F^1_0(G; Y)$

$\int\limits_{\Gamma\circ \varphi}\Omega=\varepsilon(\varphi)\int\limits_{\Gamma}\Omega$,

gdzie $\varepsilon(\varphi)=1$, gdy $\varphi$ zachowuje orientację oraz $\varepsilon(\varphi)=-1$, gdy $\varphi$ zmienia orientację.

Grupa dyfeomorfizmów

Złożenie dyfeomorfizmów jest dyfeomorfizmem. Automorfizm rozmaitości różniczkowej $M$ jest dyfeomorfizmem $M$ na siebie. W ten sposób można rozważać grupę automorfizmów z działaniem składania funkcji. Grupę tę oznaczamy przez $\operatorname{Diff}M$.

Ważne dyfeomorfizmy

Dyfeomorfizm biegunowy 

Niech $B = (0,+\infty) \times (-\pi,\pi) \subset \mathbb R^2$. Funkcja określona wzorem $b(r,\tau)=(r\cos \tau, r\sin \tau)$ przeprowadza $B$ na obszar $\mathbb R^2 \setminus \left\{(x, 0) \in \mathbb R^2: x \leqslant 0\right\}$. Ten dyfeomorfizm wprowadza współrzędne biegunowe. Jakobian tego przekształcenia $J_B = r$.

Dyfeomorfizm sferyczny 

Niech $S = (0,+\infty) \times (-\pi,\pi) \times \left(-{\pi \over 2}, {\pi \over 2}\right) \subset \mathbb R^3$. Funkcja określona wzorem $s(r, \sigma, \tau) = \left(r\cos \tau \cos \sigma, r\cos \tau \sin \sigma, r\sin \tau \right)$ przeprowadza zbiór $S$ na obszar $\mathbb R^3 \setminus \left\{(x, y, z) \in \mathbb R^3: x \leqslant 0, y=0\right\}$. Dyfeomorfizm ten wprowadza współrzędne sferyczne. Jakobian tego przekształcenia wynosi $J_S = r^2 \cos \sigma$.

Dyfeomorfizm walcowy 

Niech $W = (0,+\infty) \times (-\pi,\pi) \times \mathbb R \subset \mathbb R^3$. Funkcja określona wzorem $w(r, \tau, z) = (r\cos \tau, r\sin \tau, z)$ przeprowadza $W$ na obszar $\mathbb R^3 \setminus \left\{(x,y,z) \in \mathbb R^3: x \leqslant 0, y=0\right\}$. Ten dyfeomorfizm wprowadza współrzędne walcowe. Jakobian tego przekształcenia również wynosi $J_W = r$.

Twierdzenie o lokalnym dyfeomorfizmie

Niech $X,Y$ będą przestrzeniami Banacha, $D$ będzie niepustym, otwartym podzbiorem $X$ oraz będzie dane odwzorowanie $F\colon D \rightarrow Y$. Jeśli $F$ jest regularne, to dla każdego $x\in D$ istnieje jego otoczenie $U_x$, że odzworowanie $F|_{U_x}$ jest dyfeomorfizmem.

Prostym wnioskiem z twierdzenia o lokalnym dyfeomorfizmie jest fakt, iż odwzorowanie regularne przestrzni Banacha jest odwzorowaniem otwartym. Twierdzenie to wykorzystywane jest także dla dowodu twierdzenia o funkcji uwikłanej.

Zobacz też

• homeomorfizm
• rozmaitość różniczkowa
• układ współrzędnych

Bibliografia

• Witold Kołodziej: Analiza matematyczna. Warszawa: PWN, 1979.