Dyskusja:Aksjomaty i konstrukcje liczb

Pojęcie liczby

Dopiero wraz z rozwojem teorii mnogości i logiki matematycznej pojęcie liczby zostało ściśle określone. - gdzie jest ścisła definicja tego pojęcia? Kuszi 00:24, 10 kwi 2007 (CEST).

Tak naprawdę nie istnieje ścisła definicja pojęcia liczby, jest definicja liczb naturalnych, liczb całkowitych itp. Już uzupełniam. Olaf @ 00:33, 10 kwi 2007 (CEST)

No chyba, żeby uznać liczbę za element dowolnego ciała. Kuszi 00:44, 10 kwi 2007 (CEST).

No nie, oktawy Cayleya są liczbami a nie tworzą ciała (nawet nieprzemiennego). Liczby kardynalne i porządkowe nie tworzą nawet zbiorów, a co dopiero ciał. Ewentualnie można uznać algebrę liczbową za rozszerzenie algebry liczb naturalnych. Tak wpisałem do wstępu. Olaf @ 00:52, 10 kwi 2007 (CEST)

.... Dowolny zbiór dowolnych obiektów, w którym zdefiniowane działania spełniają odpowiednie aksjomaty, czyli tzw. model danej aksjomatyki, można nazwać zbiorem liczb. i akapit dalej Zbiory liczbowe są zawsze definiowane razem z podstawowymi działaniami na nich — dodawaniem i mnożeniem - jak więc jest z tymi działaniami, musi być dodawanie i mnożenie? Pozdrawiam Kuszi 11:01, 10 kwi 2007 (CEST).

No tak, w przypadku wszelkich algebr liczbowych muszą być zdefiniowane ich działania wewnętrzne (zawsze dodawanie i mnożenie, ewentualnie definiowane pośrednio przez coś z czego dodawanie i mnożenie wynika, np. działanie następnika). Albo te działania są zdefiniowane przez używające ich aksjomaty, albo są skonstruowane tak, aby te aksjomaty spełniały, ale tak czy inaczej muszą być jakoś zdefiniowane. Trochę przemieściłem akcenty, może będzie lepiej zrozmiałe, ale nie bardzo rozumiem, w czym widzisz tu problem? Olaf @ 13:50, 10 kwi 2007 (CEST)

Chodzi mi głównie o słowa: odpowiednie aksjomaty - jakie muszą być te aksjomaty, żeby mówić o liczbach?

Przy okazji:

1. Czy nie należałoby rozróżnić zbiorów liczbowych - struktur algebraicznych od ich podzbiorów: takich jak powiedzmy liczby pierwsze, które właściwie żadnej struktury nie mają.
2. Co mam rozumieć przez dodawanie i mnożenie, jakie własności muszą mieć te działania?

Pozdrawiam, Kuszi 15:39, 10 kwi 2007 (CEST).

"Odpowiednie aksjomaty" - no właśnie różne zbiory liczbowe mają różne aksjomaty. Nie ma jednych dla wszyskich liczb. Przez "odpowiednie" rozumiałem tutaj "odpowiednie dla akurat definiowanych liczb", za każdym razem inne. Tak się jednak składa, że zawsze są definiowane (na różne sposoby, mniej lub bardziej bezpośrednio) dodawanie i mnożenie, bo te właśnie działania są działaniami wewnętrznymi każdego ze zbiorów liczbowych.

• Dla liczb naturalnych są tutaj: Aksjomaty i konstrukcje liczb#Aksjomatyka Peano,
• dla liczb całkowitych tutaj: Aksjomaty i konstrukcje liczb#Aksjomatyka liczb całkowitych,
• dla liczb wymiernych tutaj: Aksjomaty i konstrukcje liczb#Aksjomatyka liczb wymiernych (aksjomaty dla działań zostały tu wprowadzone w stwierdzeniu, że algebra liczb wymiernych jest ciałem prostym),
• dla liczb rzeczywistych tu: Aksjomaty i konstrukcje liczb#Aksjomatyka liczb rzeczywistych
• dla liczb zespolonych tu: Aksjomaty i konstrukcje liczb#Aksjomatyka liczb zespolonych

Wszystkie te sformułowania w mniej lub bardziej bezpośredni sposób odwołują się do działań na liczbach. Nie chcę tu przepisywać połowy artykułu... Być może powinienem był przenieść tutaj także sekcję liczba#Własności algebraiczne, bo tam jest bardziej przystępnie opisane, jakie właściwości mają mieć poszczególne działania, ale ponieważ nie jest to ani konstrukcja, ani aksjomat, więc jej tu nie dałem.

Może i faktycznie należałoby odróżnić struktury algebraiczne od reszty. Głównie sprowadziłoby się to do wyrzucenia liczb pierwszych, bo jako jedyne liczby nie tworzące własnej struktury mają tutaj własną sekcję. Ale ponieważ są potrzebne do zdefiniowania liczb p-adycznych (które już tworzą ciało), więc ich obecność jest w jakiś sposób uzasadniona. Jeśli uważasz, że należy je wyrzucić, mogę to zrobić.

Pozdrawiam, Olaf @ 19:26, 10 kwi 2007 (CEST)

---

Teoria zbiorów redirectuje do hasła teoria mnogości. Ob hasła występują (podlinkowane w artykule. Warto chyba ujednolicić terminologię (jeżeli rzeczywiście teoria zbiorów i teoria mnogości to to samo). Qblik Zostaw wiadomość 17:30, 10 kwi 2007 (CEST)

Termin "teoria zbiorów" jest praktycznie nie używany. Na google jest 556 odnośników do niego, a do teorii mnogości 47400. Według mnie jeśli już, to teoria zbiorów byłaby częścią teorii mnogości, która oprócz zbiorów zajmuje się m.in. klasami. Więc redirect jest poprawny, ale jeśli ujednolicać to raczej w stronę teorii mnogości. Olaf @ 19:26, 10 kwi 2007 (CEST)

Mój komentarz skopiowany z dyskusji artykułu na medal.

Kasuję stąd i za moment odpowiadam w dyskusji artykułu na medal, żeby było w jednym miejscu. Olaf @ 19:26, 10 kwi 2007 (CEST)

Czy ten porządek określony dla liczb nadrzeczywistych ma być silny czy słaby? Bo jeśli wezmę (zakładając, że jest silny, jak sugeruje symbol), dowolną podklasę $A=B$: nieprawda, że $x=y, x\in A$ spełnia $x<y$, a tymbardziej nie istnieje $z\in F$ żeby tak było. I czy można mówić, że $F$ jest ciałem skoro nie jest zbiorem? Może lepiej, że spełnia aksjomaty ciała? Loxley 06:57, 13 kwi 2007 (CEST)

W aksjomatyce silny (w każdym razie tak jest na en-wiki - piszą tam że porządek z konstrukcji jest dopiero z niego wyprowadzany). Jeśli weźmiesz A=B to nie jest prawdą, że $\bigwedge_{x\in A}\bigwedge_{y\in B} x<y$. czyli nie jest prawdą, że A<B. I faktycznie nie istnieje wtedy takie z, bo nie musi istnieć. Chyba nie do końca rozumiem, o co chodzi.

Co do ciała - No cóż, porządek też w zwykłej definicji ma zbiory a nie klasy... Chyba to się da rozszerzyć do klasy. W każdym razie nie bardzo wiem, czym się różnią stwierdzenia "X jest ciałem" oraz "X spełnia aksjomaty ciała", skoro aksjomaty definiują ciało. Olaf @ 08:39, 14 kwi 2007 (CEST)

Jeszcze jeśli chodzi o algebry na klasach - to o tyle nie prowadzi do sprzeczności, że wszystkie typowe struktury algebraiczne, jak ciało, są zdefiniowane przez aksjomaty w rodzaju $\bigwedge_{x_1, \dots , x_n\in X} f(x_1, \dots , x_n)$, gdzie f to formuła logiczna. Skoro klasa w ZFC występuje tylko na poziomie metateorii jako formuła logiczna $c(x)$, mówiąca, jakie obiekty należą do danej klasy, to wystarczy zastąpić

$\bigwedge_{x_1, \dots ,x_n\in X} f(x_1, \dots , x_n)$

przez

$c(x_1) \wedge c(x_2) \wedge \dots c(x_n)\models f(x_1,\dots,x_n)$.

Podobnie klasa $c_1(x)$ zawiera się w $c_2(x)$, gdy $c_2(x)\models c_1(x)$.

W ogóle to ten problem jest częsty - liczby porządkowe tworzą porządek, ale w definicji porządku mamy zbiór. Liczby kardynalne to klasy abstrakcji, ale klasa abstrakcji to w standardowym ujęciu zbiór. Olaf @ 09:00, 14 kwi 2007 (CEST)

A rzeczywiście tam jest "takimi, że", źle przeczytałem, sorry. Ale z tym ciałem to chodzi mi o definicję, mianowicie Ciałem nazywamy zbiór...', a nie klasę. PS. Naturalnym przykładem porządku liniowego na klasie jest porządek na liczbach kardynalnych, równoważny AC. Loxley 09:13, 14 kwi 2007 (CEST)

Ok, zmieniłem. Poza tym z powrotem zamieniłem $x<z<y$ na $\bigwedge_{x\in A}\bigwedge_{y\in B} x<z<y$. W Twojej wersji, nie wiadomo co to jest x i y, bo były zmiennymi kwantyfikatorów, nie określonymi poza kwantyfikatorami.

A w ogóle, nie do końca te liczby rozumiem. Aksjomatykę i konstrukcję wziąłem z en-wiki, gdzie pojawia się raz $F$ i dużo razy jakieś $No$. Ale to nie może chodzić o liczby naturalne z zerem. Spróbowałem jakoś sklecić z tego spójną całość. Olaf @ 09:56, 14 kwi 2007 (CEST) Ja nigdy wcześniej o tym nie słyszałem i wydaje mi się to jakieś takie na siłę zrobione. Jeśli to jest niby ciało, to czym jest element odwrtotny do $\omega_1$? Jak oni rozróżniają te "małe liczby". Loxley 10:01, 14 kwi 2007 (CEST)

Nie wiem, ale że są poważnym tworem matematycznym, to akurat pewne - znalazłem np. pracę [1] przy okazji wyjaśniło się, że No to oznaczenie klasy tych liczb. Nie wiem tylko, czy F to pomyłka, i miało być $No$, czy coś jeszcze innego. Poczytaj na en-wiki, tam jest o tym jak się robi nieskończenie małe liczby nadrzeczywiste. Badam dalej.Olaf @ 10:18, 14 kwi 2007 (CEST) Konkretnie odwrotnością $\omega$ jest $\epsilon=\{ 0 | \dots, 1/16, 1/8, 1/4, 1/2, 1 \}$, większe od zera ale mniejsze od każdej liczby rzeczywistej dodatniej. Tutaj jest 50 stron o tych liczbach prostym językiem. Olaf @ 10:30, 14 kwi 2007 (CEST)

Aksjomaty czy konstrukcje

Cytat:

"Metody definiowania liczb [...]

• przez podanie aksjomatów [..]
• przez stworzenie konstrukcji [...]
• przez wydzielenie podzbioru spełniającego dany warunek z osobno zdefiniowanego szerszego zbioru liczb - jest to w zasadzie szczególny przypadek aksjomatyki."

No nie wiem, moim zdaniem jest to bardziej szczególny przypadek konstrukcji - mamy jakąś strukturę, tworzymy z niej nową jako podzbiór i zawężamy działania. Warunek oddzielający szerszy zbiór od węższego raczej miałby IMHO postać typu "Q to najmniejsze w sensie inkluzji podciało R" - niezależnie czy tu R zostało zdefiniowane aksjomatycznie, czy jakoś konstrukcyjnie, sklasyfikowałbym taką definicję jako konstrukcyjną (tworzącą nowe obiekty z już istniejących), nie aksjomatyczną (tworzącą nowe obiekty bez "fundamentów" czyli innych obiektów). Ale mogę się mylić i dlatego nie wprowadziłem zmiany.

A, co do rozmiarów nagłówków - zmieniłem tak aby było ===Zobacz też=== i ===Bibliografia=== gdyż wszędzie w tekście były używane nagłówki ===Liczby X===. Tyle że Szablon:Przypisy wymusza używanie ==X==. Być może dla konsekwencji trzeba będzie zmienić wszystko na ==Liczby X==.

Aaa, jaki jestem bezmyślny:) Dzięki Olaf. googl d 13:26, 22 kwi 2007 (CEST)

Pozdrawiam z urlopu, googl d 13:18, 22 kwi 2007 (CEST)

No właśnie najpierw sam napisałem, że to "konstrukcje", ale potem doszedłem do wniosku że jednak bardziej aksjomaty.

Np. liczby pierwsze to obiekty, które spełniają aksjomat: n jest liczbą naturalną większą od 1 i dzieli się w liczbach naturalnych tylko przez 1 i n.

Można to potraktować jako konstrukcję, ale wtedy w zależności od sposobu skonstruowania liczb naturalnych wyjdą inne liczby pierwsze, i nie bardzo będzie jak powiedzieć, że zbiory te są izomorficzne, skoro izomorfizm dotyczy tu struktur algebraicznych, a l. pierwsze struktur algebraicznych nie tworzą. Olaf @ 18:54, 22 kwi 2007 (CEST)

pragnę zauważyć, że izomorfizm może być traktowany jako pojęcie teorii kategorii (u nas w wiki nieopisane). konrad ^mów! 14:47, 25 kwi 2007 (CEST)

Aksjomatyka rzeczywistych

Chyba ja nieźle tu napsułem:/ Skomentowałem wątpliwe fragmenty. Jak przeczytałem na de- i fr- wiki, liczby rzeczywiste można zdefinować jako ciało uporządkowane które spełnia aksjomat supremum (każdy ograniczony z góry podzbiór ma kres górny). Ten aksjomat jest równoważny koniunkcji (aksjomat Archimedesa & istnienie granicy każdego ciągu Cauchy'ego) Patrz de:Reelle_Zahl#Axiomatische_Einf.C3.BChrung_der_reellen_Zahlen, de:Archimedisches Axiom, fr:Nombre_réel#Approche_axiomatique - we francuskiej to jest w ramce "Démonstrations".

Jest już późno, tyle zostawię:( Postaram się przejrzeć po południu, jeżeli możecie sprawdźcie jak to powinno wyglądać:/ Czy aksjomat ciągłości Dedekinda jest równoważny aksjomatowi supremum, czy aksjomatowi, że każdy ciąg Cauchy'ego ma granicę? googl d 00:25, 29 kwi 2007 (CEST)

Alternatywnie, zamiast aksjomatu drugiego, można wziąć następujące dwa:

1. Aksjomat Eudoksosa-Archimedesa
   $\bigwedge_{\mathbb{R}\ni x>0}\bigwedge_{\mathbb{R}\ni y>x}\bigvee_{n\in\mathbb{N}}y<nx$
2. Każdy ciąg Cauchy'ego o wyrazach w $\mathbb{R}$ ma granicę.

Loxley 10:26, 29 kwi 2007 (CEST)

Nie rozumiem, Loxley, piszesz to tak, jakbyś stwierdzał, że to prawda, a jednocześnie usuwasz z artykułu. Olaf @ 12:54, 29 kwi 2007 (CEST)

Bo to jest prawda, ale bez dowodu może mi się tylko tak wydawać. Wszystko musi być niepodważalne. ;) Loxley 13:20, 29 kwi 2007 (CEST)

Twierdzenie

Zdania

Każdy niepusty i ograniczony podzbiór $\mathbb R$ ma kres górny.

oraz

Jeżeli $[A,B]$ jest przekrojem Dedekinda zbioru $\mathbb{R}$, to albo klasa dolna $A$ ma element największy, albo klasa górna $B$ ma element najmniejszy.

są równoważne.

Dowód

Każdy niepusty i ograniczony podzbiór $\mathbb R$ ma kres górny.

Na symbolach:

A1 $X\neq \varnothing$

A2 $\bigvee_{t\in \mathbb{R} } \bigwedge_{y\in X} y\le t$

A3 $\bigvee_{k\in \mathbb{R}} \left( \left( \bigwedge_{y\in X} y\le k\right) \wedge \bigwedge_{z\in \mathbb{R}} \left( z<k \Rightarrow \bigvee_{u\in X}z<u\right) \right)$

A4 $A1 \wedge A2 \Rightarrow A3$

Jeżeli $[A,B]$ jest przekrojem Dedekinda zbioru $\mathbb{R}$, to albo klasa dolna $A$ ma element największy, albo klasa górna $B$ ma element najmniejszy.

Na symbolach:

B1 $A\neq\varnothing, B\neq\varnothing$,

B2 $A\cup B=\mathbb{R}$,

B3 jeżeli $a\in A$ i $b\in B$, to $a<b$

B4 $\left( \bigvee_{w\in A} \bigwedge_{y\in A}y\le w \right) \vee \left( \bigvee_{w\in B} \bigwedge_{y\in B} w\le y \right)$

B5 $B1 \wedge B2 \wedge B3 \Rightarrow B4$

Zdanie A4 wynika z B5:
Przyjmijmy A1, A2, B5, chcemy wyprowadzić A3.
Rozpiszmy liczby rzeczywiste w zbiorze X na przekroje Dedekinda i weżmy iloczyn ich prawych stron: $B_k=\bigcap \{B_r : \bigvee_{r\in X} r=[A_r,B_r]\}$
Przyjmijmy $A_k=\mathbb{R}-B_k$
Przyjmijmy liczbę rzeczywistą $k=[A_k,B_k]$. Kazdy element $B_k$ jest większy od każdego elementu X, więc k jest górnym ograniczeniem X. Jednocześnie nie istnieje mniejsze górne ograniczenie $(z)$ zbioru X. Gdyby istniało, wtedy $z=[A_z,B_z]\wedge A_z\subset A_k$. Weźmy zatem liczbę $u\in A_k-A_z, u\ne z$. $u\in A_k$, więc $u\not\in B_k$ więc $\bigvee_{r\in X} u\not\in B_r$ więc $\bigvee_{r\in X}u\le r$.
Ale z<u. Stąd z nie jest górnym ograniczeniem X.

c.b.d.o.

Zdanie B5 wynika z A4:
Przyjmijmy B1,B2,B3 oraz A4, chcemy wyprowadzić B4.
Niech $A=X=\{r\in\mathbb{R}: r<t\}$ oraz $B=\mathbb{R}-A$ Wtedy A1 i A2 są oczywiście spełnione, a więc także (na mocy A4) zdanie A3.
Z A3 wynika, że $\bigvee_{k\in \mathbb{R}} \bigwedge_{y\in X} y\le k$
czyli $\bigvee_{k\in \mathbb{R}} \bigwedge_{y\in A} y\le k$
Jeśli $k\in A$ to B4 jest spełnione dla w=k.
Jeśli $k\not\in A$ to ze sposobu konstrukcji wynika $k\in B$
Z A3 wynika, że $\bigwedge_{z\in B} \left( z<k \Rightarrow \bigvee_{u\in A}z<u\right)$ (podstawiłem X=A i obciąłem zbiór liczb rzeczywistych do B). To jednak jest sprzeczne z B3, więc liczba $z\in B, z<k$ nie istnieje. k jest dolnym ograniczeniem B, przy tym $k\in B$, więc k jest kresem dolnym B.

c.b.d.o.

Sformułowania A4 (o kresie górnym) i B5 (o przekrojach Dedekinda) są zatem równoważne, o ile gdzieś się nie machnąłem w dowodzie bo to mój własny OR. :-) Olaf @ 12:43, 29 kwi 2007 (CEST)

Dzięki wielkie, wczoraj mi od tego głowa pękała:) Mówiąc szczerze, nie wiem czy można rozpisać przy dowodzie B5 => A4 liczby w zbiorze X na przekroje Dedekinda - jeżeli dobrze myślę wewnętrzna budowa R nie musi być znana. Na wszelki wypadek przedstawię inny dowód:

Dany jest podzbiór $X \subset \mathbb{R}$, który jest niepusty i ograniczony z góry, oraz ponadto zachodzi B5. Udowodnimy, $X$ że ma kres górny.

Niech $A=\{a \in \mathbb{R}: \bigvee_{x \in X} x >= a\}$ oraz $B=\mathbb{R}-A$. Czyli A składa się z wszystkich liczb co najwyżej równych liczbom w X. Udowodnię B1, B2, B3 a stąd będzie wynikać B4.

Dowód B1:

Ponieważ X jest niepusty, więc $\bigvee_{c \in \mathbb{R}} c \in X$. W takim razie $c \in A$, bo $c \ge c$. A skoro $c \in A$, to $A \neq \varnothing$.

Ponieważ X jest ograniczony z góry, więc $\bigvee_{t \in \mathbb{R}} \bigwedge_{y \in \mathbb{X}} y \le t$. A zatem $\bigwedge_{y \in X} y < t+1$. Stąd $t+1 \not\in A$, gdyż jest większe od wszystkich elementów X. Zatem $B \neq \varnothing$.

Zatem zbiory A i B są niepuste i spełnione jest B1.

Dowód B2: oczywisty z definicji zbiorów A i B.

Dowód B3: niech $a \in A, b \in B$. Zatem $a \in A, b \not\in A$. Czyli $\bigvee_{x \in X} x \ge a$. Jednocześnie $b \not\in A$, zatem $\neg \bigvee_{x \in X} x \ge b$ czyli $\bigwedge_{x \in X} x < b$. A zatem $\bigvee_{x \in X} a \le x < b$ zatem z przechodniości$a<b$.

Spełnione są B1, B2, B3, B5 więc także i B4. Zatem albo A ma element największy, albo B ma element najmniejszy. W pierwszym przypadku istnieje największy element zbioru A, a ten element musi należeć do zbioru X - wynika to z kwantyfikatora przy definicji zbioru A. W drugim przypadku B jest zbiorem ograniczeń górnych i istnieje wśród tych ograniczeń największe, czyli po prostu X ma kres górny.

Co do równoważności tego aksjomatu z układem tamtych dwóch, dowód jest we fr-wiki, postaram się jakoś przetłumaczyć, ale nieco później. Pozdr. googl d 15:47, 29 kwi 2007 (CEST)

[2] pod koniec

"Briefly, the system of real numbers is a complete, totally, strictly-Archimedean ordered field. The system of real numbers can also be defined, in an equivalent way, as a continuous totally ordered field. In this case the Archimedean axiom and the completeness axiom are replaced by the continuity axiom"

Ten dowód równoważności przetłumaczę później, ostatnio zupełnie nie mam czasu. googl d 14:43, 2 maja 2007 (CEST)

Dowód, tłumaczony z fr-wiki:

1. Jeżeli spełniony jest aksjomat supremum, to spełniony jest aksjomat Archimedesa.

Dowód niewprost. Załóżmy, że istnieje $y>0$ że $nx \leq y$ dla wszystkich liczb naturalnych n.

Rozpatrzmy zbiór $\{nx:n \in \mathbb{N}\}$. Wtedy y jest ograniczeniem górnym tego zbioru. Z aksjomatu supremum wynika istnieje najmniejszego ograniczenia górnego $y_0$. Ponieważ $y_0-x<y_0$ więc $y_0-x$ jako mniejsze od supremum nie jest ograniczeniem górnym dla nx. Istnieje zatem liczba naturalna m, że

$y_0 - x < mx$

Wtedy

$y_0 < (m+1)x$

co przeczy temu, że $y_0$ jest ograniczeniem górnym. Sprzeczność kończy dowód.

2. Jeżeli E jest ciałem uporządkowanym w którym spełniony jest aksjomat supremum, to każdy ciąg Cauchy'ego ma granicę.

Niech $(a_n)$ będzie ciągiem Cauchy'ego o wyrazach z E, udowodnimy że (a_n) jest zbieżny. Ciąg Cauchy'ego jest zawsze ograniczony. Dla każdego n, zbiór $A_n = \{a_m: m > n\}$ jest niepusty i ograniczony więc ma ograniczenie górne $S_n$ i ograniczenie dolne $I_n$. Zauważmy, że:

• Ciąg $(S_n)$ jest malejący, bo jest $(S_{n})$ jest ograniczeniem zarówno dla $A_n$ jak i $A_{n+1}$. Stąd $S_{n} >= S_{n+1}$
• Ciąg $(I_n)$ jest rosnący. Dowód analogiczny.
• Dla wszystkich $\varepsilon > 0\,$, istnieje $N\,$ że dla wszystkich $m\,$ i $n\,$ takich że $m \geq n \geq N$, $a_n-\varepsilon/2 \leq a_m \leq a_n + \varepsilon/2$ (bo ciąg $(a_n)\,$ jest ciągiem Cauchy'ego). $a_n + \varepsilon/2$ jest ograniczeniem górnym dla $A_n\,$ więc $S_n \leq a_n + \varepsilon/2$. W ten sam sposób $I_n \geq a_n - \varepsilon/2$. Więc $a_n-\varepsilon/2 \leq I_n \leq S_n \leq a_n + \varepsilon/2$ więc$|S_n - I_n| \leq \varepsilon$. Ciąg $(S_n - I_n)\,$ jest zbieżny do 0.

Dwa ciągi spełniające te trzy założenia na podstawie tego twierdzenia, którego polskiej nazwy nie znam, są zbieżne do tej samej granicy. Niech $a\,$ jest tą granicą. Wiadomo, że $I_n \leq a \leq S_n$. Zgodnie z poprzednią uwagą, dla każdego $\varepsilon > 0\,$, istnieje $N\,$ takie, że $n \geq N$, $a_n-\varepsilon/2 \leq I_n \leq S_n \leq a_n + \varepsilon/2$ . Ponieważ $I_n \leq a \leq S_n$, więc $|a_n - a| \leq \varepsilon/2$. To potwierdza, że ciąg $(a_n)\,$ jest zbieżny do $a\,$.

3. Każde ciało archimedesowe w którym każdy ciąg C. ma granicę spełnia aksjomat supremum. Dowód jest analogiczny i wykorzystuje konstrukcję liczb rzeczywistych za pomocą ciągów Cauchy'ego. (to przetłumaczyłem, ale nie wiem czy to jest poprawne)

Prosiłbym o weryfikację, jeżeli jest dobrze, myślę że będzie można wstawić te dwa alternatywne aksjomaty do artykułu. googl d 22:33, 10 maja 2007 (CEST)

Inkluzja klas

Mam od Marka Sz. następującą odpowiedź:

> > Mam jeszcze jedno pytanie stricte matematyczne, zresztą też w związku z > tym artykułem o aksjomatach: > > Czy można w stosunku do dwóch klas właściwych oraz zbioru i klasy > właściwej użyć tego samego znaczka "zawiera się" (\subset), co w > odniesieniu do dwóch zbiorów? Jeśli nie, to jaki znaczek można użyć > (\vdash skoro klasy to warunki logiczne?) > > Chciałbym na diagramie dodać liczby kardynalne, porządkowe i > nadrzeczywiste, ale chyba nie mogę użyć tego samego symbolu. > > Pozdrawiam, > Olaf > W odniesieniu do klas używa się tych samych oznaczeń, co dla zbiorów. Jedyne ograniczenie dotyczy znaku należenia (bycia elementem): klasa, której symbol może być po lewej stronie tego znaku jest zbiorem. Dokładniej: jeśli uzywa się formalizacji teorii mnogości w której występują klasy (np. GBN), to każdy zbiór jest klasą, ale istnieją klasy właściwe, nie będące zbiorami, a cała różnica polega na możliwości udowodnienia zdania, w którym symbol występuje z lewej strony znaku należenia. BTW, wiele osób używa (odwróconego) znaku inkluzji na oznaczenie implikacji. Może nazwy klas właściwych napisać czerwono albo niebiesko? Albo dać osobny, drugi diagram?

Czyli jednak można wsadzić kardynalne, porządkowe i nadrzeczywiste na diagram. Spróbuję w wolnej chwili. Olaf @ 18:02, 7 maja 2007 (CEST) Można, ale to musi być bardzo, bardzo wyraźnie opisane, że chodzi o inkluzję klas. Już kiedyś gdzieś pisałem co mnie niepokoi w idei umieszczenia ich na diagramie. Loxley 19:58, 7 maja 2007 (CEST)

Pod rysunkiem widnieje napis: "Nie są zaznaczone podzbiory liczbowe nie tworzące struktur algebraicznych (jak np. liczby niewymierne)." Nie rozumiem, na diagramie są liczby niewymierne, przestępne, przestępne rzeczywiste a działanie dodawania może wyprowadzić poza te zbiory (np. pi + (-pi) = 0). Diagram śliczny:) Pozdrawiam, zabiorę się za aksj. rzeczywistych pojutrze, będę miał przerwę do następnego egzaminu. googl d 13:46, 8 maja 2007 (CEST)

Ups. Dzięki za zauważenie. :-) Poprawiam. Olaf @ 01:23, 10 maja 2007 (CEST)

Nadrzeczywiste? Surrealistyczne?

Mam następną ciekawą odpowiedź osoby, od której wziąłem polską nazwę "liczby nadrzeczywiste" na określenie "surreal numbers" (wyciąłem podpis autora i końcówkę jego maila, bo nie wiem, czy życzy sobie tu występować):

> Dzień dobry, > > zauważyłem, że w październiku 2006 prowadził Pan seminarium na temat > "surreal numbers", które przetłumaczył Pan jako "liczby nadrzeczywiste". > Chciałbym się zapytać, czy jest to tłumaczenie nazwy, które wystąpiło > gdziekolwiek w polskiej literaturze, na którą można by się powołać w > bibliografii (choćby w Pana własnych pracach). > > W literaturze anglosaskiej występują nawiązania do surrealizmu (np. Dali > function), stąd zastanawiałem się, czy nazwa "liczby surrealistyczne" > nie byłaby lepsza, nie chciałbym jednak wprowadzać innej nazwy, jeśli > termin "liczby nadrzeczywiste" jest już gdzieś używany (poza Wikipedią). > > Z poważaniem, > Olaf Matyja > Dzień dobry, "liczby nadrzeczywiste", to było moje własne tłumaczenie terminu "surreal numbers", które nawiązywało do pojęcia liczb rzeczywistych. Sformułowanie "liczby surrealistyczne" nie dawałoby tego skojarzenia. Funkcja Dali'ego nie była mi potrzebna do wygłoszenia referatu, więc się jej nazwą nie przejmowałem. Nie sądzę aby ktokolwiek pisał coś o liczbach nadrzeczywistych/surrealistycznych po polsku, bo w ogóle istnieje tylko kilka prac i jedna książka na ten temat. (...)

To co, skoro ta nazwa polska została jedynie wymyślona na potrzeby referatu, w innych miejscach poza referatem i wikipedią nie występuje, to zostawiamy ją przez analogię do rzeczywistych, czy może zmieniamy na "liczby surrealistyczne" jako bliższe oryginałowi, pasujące np. do "Dali function" i oddające przedziwny charakter obiektów zawierających w sobie i liczby rzeczywiste i liczby porzadkowe? Olaf @ 01:36, 10 maja 2007 (CEST)

Osobiście wolałbym "nadrzeczywiste", przynajmniej w tym tłumaczeniu Wiktora Bartola [3] (mam tę książkę) jest używana właśnie ta. Albo można podawać obie wersje, jedną w nawiasie. googl d 22:33, 10 maja 2007 (CEST)

Oczywiście, jeśli to już było gdziekolwiek użyte po polsku, to zostaje. Myślałem, że nie ma polskiej literatury i możemy przetłumaczyć jak chcemy. Dzięki. Olaf @ 06:20, 11 maja 2007 (CEST)

To, że było użyte gdzieindziej nie świadczy, iż jest poprawne. Przecież przedrostek hiper to po polsku nad. Czytając w nagłówku nadrzeczywiste myślałem, że to spolszczona forma hiperrzeczywistych. Więc nazwa jest myląca. Moim zdaniem bardziej wymowna byłaby: ponadrzeczywiste, pozarzeczywiste lub jakoś w tym stylu. Ęgeniusz Ąderko (dyskusja) 23:15, 4 lip 2008 (CEST)

Aksjomaty i konstrukcje liczb

• Uzasadnienie: Był sobie artykuł liczba. Zawierał jednak trochę błędów. Artykuł został przez nas w ciągu miesiąca napisany od początku, aż osiągnął wielkość 100 KB i trudno go było czytać. W tej sytuacji z żalem wydzieliłem największą, i chyba najlepszą merytorycznie sekcję, definiującą ściśle pojęcia liczb. Sekcja ta stanowi treść przedstawianego do oceny artykułu i obejmuje wszystkie typowe aksjomaty i konstrukcje algebr liczbowych, a także kilka mniej popularnych podejść. Planowo nie zawiera niemal żadnych odnośników do historii, informatyki, czy przybliżeń intuicyjnych (są w liczba), żeby artykuł nie zamienił się ponownie w takie monstrum jak poprzednio. Olaf @ 23:29, 9 kwi 2007 (CEST)
• Główni autorzy artykułu: Olaf, Loxley
• Głosy za:

1. Markotek 11:17, 10 kwi 2007 (CEST)
2.  Za Raphael17 11:39, 10 kwi 2007 (CEST)
3. Michal.sfinks Dyskusja 12:56, 10 kwi 2007 (CEST)
4. Galileo01 14:05, 10 kwi 2007 (CEST) Z jedną drobną uwagą: przypis pierwszy można IMHO przenieść do dyskusji artykułu.
5. Mam nadzieję, że uwagi o "nadmiernej długości" nie były wygłaszana na poważnie - istnieją encyklopedie specjalistyczne, w których artykuły mają nawet 100 stron. I to jest właśnie celem Wikipedii. Po za tym piękne. Laforgue (niam) 17:08, 10 kwi 2007 (CEST)
6. Kuszi 00:32, 13 kwi 2007 (CEST)
7. Ed88 ^ODP 18:26, 20 kwi 2007 (CEST)
8. googl d 12:57, 22 kwi 2007 (CEST)
9. konrad ^mów! 19:41, 22 kwi 2007 (CEST)

• Głosy przeciw:

1. To jest łagodny głos przeciw, który będzie można łatwo skreślić. W haśle brakuje klarownej definicji terminu, który omawia. W nagłówku hasła jest mowa o trudności z definiowaniem pojęcia "liczba", ale nie ma ani słowa definicji pojęcia, które jest omawiana. Nie można się zatem z nagłówka tego hasła zorientować o czym ono wogóle jest. Sprawia to wrażenie jakby to hasło nie było hasłem encyklopedycznym, tylko wyrwanym z kontekstu rozdziałem podręcznika teorii liczb. Może wogóle warto by rozważyć przeniesienie tego hasła w obecnym kształcie do wikibooks i zacząć na jego podstawie tworzyć podręcznik teorii liczb? Zgodnie z zaleceniami pisana haseł, powinno się zaczynać je od definicji omawianego terminu. Jeśli takiej nie można podać, to wskazuje to na to, że to wogóle nie jest hasło encyklopedyczne. Polimerek 22:01, 14 kwi 2007 (CEST)

   Nie dla każdego terminu da się skonstruować klasyczną definicję realną i nie dla każdego trzeba. Na tej samej podstawie można uznawać za nieencyklopedyczne takie terminy jak "niebyt", uznawane często za niedefiniowalne. O tym mówi już sam tytuł hasła - w haśle aksjomaty i konstrukcje liczb nie będziemy mieć definicji klasycznej, ale z natury rzecz definicje aksjomatyczne, albo tak dziwne, jak inkluzyjne, aproksymacyjne, dyspozycyjne czy operacyjne. Definicji jest po prostu wiele rodzajów. Laforgue (niam) 22:25, 14 kwi 2007 (CEST)

   Zmieniłem wstęp tak, aby definiował tytuł artykułu, a nie słowo "liczba". Mam nadzieję, że to wystarcza. Olaf @ 21:11, 15 kwi 2007 (CEST)

   OK. To mnie mniej więcej zadowala. Polimerek 00:15, 17 kwi 2007 (CEST)

• Dyskusja:

Artykuł niewątpliwie ciekawy, widać spory wkład pracy autorów (wyrazy podziwu). Dobrym pomysłem wydaje mi się temat - przegląd możliwych podejść do konstrukcji zbiorów liczbowych (o ile dobrze rozumiem intencje). Po pobieżnym przejrzeniu sądzę, że art. zawiera treści nie związane z tematem np. w podsekcji Właściwości algebraiczne liczb zespolonych, i wymaga dalszej pracy. Kuszi 00:48, 10 kwi 2007 (CEST).

Faktycznie zaplątały się tu rzeczy z artykułu liczba nie związane bezpośrednio z aksjomatami i konstrukcjami. Poprawiłem przenosząc to z powrotem do tamtego artykułu. Olaf @ 01:03, 10 kwi 2007 (CEST)

Przejrzałem pobieżnie. Gratuluję pomysłu na artykuł i wyrazy uznania. Artykuł interesujący, dobrze napisany, ale długawy. Moim zdaniem ujęcie tematu jest bardziej podręcznikowe niż encyklopedyczne. Myslę, że (po edycji) byłby dobrym kandydatem do umieszczenia w Wikibooks (w sekcji teoria liczb?). Qblik Zostaw wiadomość 01:02, 10 kwi 2007 (CEST)

No cóż. Tak to już jest, że jeśli chce się dać wyłącznie suche definicje matematyczne, to w efekcie artykuł będzie niezrozumiały dla nikogo poza specjalistami. Starałem się więc tak opracować temat, żeby stanowił pewnego rodzaju ciągłość od poziomu zwykłego czytelnika. Być może stąd wrażenie podręcznikowego stylu. Nie chciałbym usuwać tej ciągłości, nawet gdyby wówczas artykuł był bardziej w stylu encyklopedycznym, bo moim zdaniem by go to zepsuło i zmniejszyło grono odbiorców, a encyklopedia powinna docierać nie tylko do specjalistów. Olaf @ 01:14, 10 kwi 2007 (CEST)

Zgadzam się niemal ze wszystkim co napisałeś (o ciągłości, odbiorcach encyklopedii, itd.). Uważam tylko, że artykuł koncentruje się za bardzo na tym jak zdefiniować różne zbiory(?) liczb, co dla mnie jest tematyką bardziej podręcznikową (hasło encyklopedyczne chyba powinno się skoncentrować bardziej na tym co to jest? a nie na jak). Artykuł czyta się bardzo miło i łatwo, ale nie wiem, czy "zwykły czytelnik się ze mną zgodzi (ze względu na spore wykształcenie matematyczne nie uważam się za "przeciętnego" odbiorcę). Moim zdaniem artykuł w obecnym stanie jest zbyt długi i zbyt formalny aby "przeciętny" czytelnik przez niego całego przebrnął, za dużo jest też suchych definicji (choć są one dobrze wyjaśnione/opisane). Nie wiem też jaką wartość ma on dla specjalistów (nie uważam się za specjalistę). Często suche, rozbudowane definicje matematyczne oraz nadmierny formalizm są w encyklopedii nie na miejscu.

Przy okazji, moim zdaniem en wiki ma sporo przyzwoitych artykułów z matematyki, które są mniej formalistyczne niż w wersji pl, więc może jest możliwe napisanie o tym krócej i mniej formalnie. Myślę, po prostu, że wybraliście temat bardzo trudny do ujęcia w encyklopedyczne ramy (i chwała Wam za to). Myślę, że artykuł powinien zostać a skoro macie napisane już tyle, to moglibyście poważnie pomyśleć o Wiki-podręczniku. Dla mnie idealnym rozwiązaniem byłby krótszy, nieformalny artykuł w Wikipedii oraz nieco rozbudowany/przeformatowany artykuł do Wikibooks. Pozdrawiam serdecznie! Qblik Zostaw wiadomość 03:02, 10 kwi 2007 (CEST)

Myślę, że ten "krótszy nieformalny artykuł" to po prostu liczba. Tam są nieformalne ujęcia. A tu miały właśnie być ścisłe, formalne definicje. Nie rozumiem argumentu, że jeśli coś jest ściśle matematycznie określone (owszem, formalnie) to nie nadaje się do encyklopedii. Wydawało mi się, że jeśli już, to właśnie nieformalne ujęcie powinno trafiać do podręczników, a formalne tutaj... Mogłem przenieść z artykułu liczba także nieformalne definicje, ale czy wtedy ten artykuł lepiej odzwierciedlałby temat "aksjomaty i konstrukcje liczb"?

Olaf @ 07:55, 10 kwi 2007 (CEST)

Wszystko powinno być powiedziane tak prosto jak to tylko jest możliwe, nie prościej. (A. Einstein). I tak jest w tym przypadku - nigdzie w polskim internecie nie ma zebranej w jedno miejsce całej problematyki konstrukcji liczb. Od przybytku głowa nie boli i taki "trudniejszy" artykuł powinien zostać w takiej formie i to w wikipedii nie w wikibooks, ponieważ wnosi dużo dobrego, może nie dla samych matematyków, a dla ludzi szukających wiedzy na ten temat. Wiem, że gdybym ja natknął się na taki artykuł ileśtam lat temu, bardzo bym się cieszył (tak jak jakiś czas temu cieszyłem się artykułem proper forsing, który dla większości jest pewnie herezją hehe). Czasem warto zapomnieć o przeciętnym człowieku czytającym wikipedię i brać też pod uwagę tych bardziej wymagających. Poza tym nie wszystko w matematycznej enwiki jest super. Gros polskich haseł o wiele bardziej mi się podoba. Formalizm jest gwarancją tego, że sens hasła się rozjedzie w cztery świata strony. Pozdrawiam. Loxley 09:45, 10 kwi 2007 (CEST)

Oczywiście, zgadzam się z Einsteinem. Ale nawet jeżeli nigdzie indziej lepszego artykułu nie ma (chwała Wam za to), mam nadzieję, że się mylisz pisząc pisząc, że tej tematyki nie można opisać prościej. Myślę, że nie ma artykułów doskonałych, zawsze coś można uprościć, poprawić. Czego Wam serdecznie życzę... Qblik Zostaw wiadomość 16:59, 10 kwi 2007 (CEST)

Na wikipedii jest dużo artykułów z nauk ścisłych napisanych nieformalnie i nieściśle. To najgorsza możliwa praktyka w dziedzinie matematyki. Tu właśnie jedynie ścisłe definicje mają jakiś sens. Jeśli wypchniecie wszystkie takie teksty poza wikipedię to jej wartość merytoryczna spadnie na łeb na szyję. I dlatego właśnie ten artykuł jest dobry, że jest ścisły. Markotek 11:17, 10 kwi 2007 (CEST)

Fakt, że część artykułu jest napisana nieformalnie lub nieściśle nie jest koniecznie zły. Źle jest tylko artykuł jeżeli jest po prostu błędny. Moim zdaniem dobrze napisany artykuł powinien zaczynać się od nieścisłego i jak najprostszego sformułowania problemu, zrozumiałego dla "lajkoników", nawet jeżeli specjaliści mieli by pewne zastrzeżenia do uproszczeń. A w dalszej cześci jest miejsce na formalizacje, uściślenia, itp. Moim zdaniem w wielu artykułach na pl:wiki, nie ma równowagi między tymi częściami: brakuje pierwszej części, a druga jest nadmiernie rozbudowana. Wynika to moim zdaniem z prostego faktu, że dużo łatwiej jest przepisać wzór czy twierdzenie z podręcznika, niż wytłumaczyć "lajkonikowi" prosto o co w tym po prostu chodzi. Pozdrawiam Qblik Zostaw wiadomość 17:05, 10 kwi 2007 (CEST)

Jak widzę, moje poglądy są zdecydowanie w mniejszości, więc zamiast próbować przekonywać dalej postanowiłem przeczytać artykuł ponownie, trochę dokładniej i wniść trochę (mam nadzieję) konstruktywnej krytyki. Ostatni raz miałem kontakt z tą tematyka ok. 10 lat temu, więc myślę, że jestem odpowiednim "królikiem doświadczalnym" - mam wystarczająco dużo wiedzy, aby większość artykułu zrozumieć, a jednocześnie nie jestem ekspertem. Oto moje uwagi:

• Myślę, że wstęp jest bardzo dobry (pierwsze 4 paragrafy). Wynika z nich jednak, że wiele "zbiorów liczb" nie będzie w tym artykule zaksjomatyzowanych/skonstruowanych. Zatem czytelnik szukający konstrukcji liczb "nieparzystych" ich tu nie znajdzie. I dobrze! Może więc warto zatem zmienić tytuł artykułu. Ja proponowałbym coś w stylu "Aksjomaty i konstrukcje algebr liczbowych" (o ile jest to stwierdzenie poprawne). W ten sposób czytelnik znajdzie w nim tylko to co opisuje tytuł.

Może to i dobry pomysł. Wymaga co prawda chwili namysłu, co powinno zostać, a co wylecieć, więc musicie mi dać chwilę czasu na przetrawienie tego. Olaf @ 19:40, 10 kwi 2007 (CEST)

• Liczby pierwsze: Wstęp zdaje się sugerować, że definicja liczb wymaga definicji struktury algebraicznej. Ponieważ nie jest to możliwe dla liczb pierwszych, moim zdaniem nie należą one do tego artykułu. Szczególnie jeżeli zmieni się tytuł.

Rzeczywiście niezbyt tutaj pasują. Zostały tu włożone, bo są użyte kawałek dalej do konstrukcji liczb p-adycznych. Starałem się (nie wiem, czy z dobrym skutkiem), żeby artykuł najpierw wprowadzał pojęcia, których potem używa. Ale faktycznie chyba je usunę, bo wystarczy jedno zdanie na ten temat. Olaf @ 19:40, 10 kwi 2007 (CEST)

• Bardziej ogólnie, sądzę, że artykuł mogłby się ograniczyć do omówienia struktur widocznych na diagramie u góry strony. W ten sposób (o ile dobrze rozumiem), liczby kardynalne i porządkowe też tu nie należą.

Ale one są jednak ważne. Poza tym akurat te liczby są w pewnym sensie rozszerzeniem liczb naturalnych (pierwsza ścisła definicja liczb naturalnych sprowadzała się do określenia ich jako skończonych liczb kardynalnych) i tworzą własną algebrę, więc może jednak warto o nich wspomnieć... Olaf @ 19:40, 10 kwi 2007 (CEST)

• Na en wiki znalazłem hasło en:Surreal number, które wydaje się mogłoby należeć do tego artykułu (jest tam zdefiniowana algebra tych liczb). Nie wiem jednak jaka jest relacja między tymi liczbami, a liczbami na schemacie. Myślę, że artykuł powinien być jak najbardziej kompletny, co może wymagać modyfikacji schematu (chociaż nie jestem w stanie zasugerować w jaki sposób).

Nie znałem tych liczb, ale faktycznie trzeba będzie o nich napisać. Spróbuję to zrobić, ale potrzebuję kilku dni, bo nie mam za dużo czasu. Olaf @ 19:40, 10 kwi 2007 (CEST)

• Do sekcji "Liczby zespolone" struktura artykułu bardzo mi się podoba. Szcególnie podział każdej sekcji na podsekcje "aksjomatyka" i "konstrukcje", które odpowiadają bezpośrednio tytułowi artykułu. Kolejne sekcje już takiego podziału nie mają, co moim zdaniem czyni je mniej przejrzystymi. Poprawiłbym to (nawet jeśli aksjomatyka nie różni się formalnie od np. aksjomatyki liczb zespolonych). Na przykład sekcje "Kwaterniony" i "Oktoniony" zaczynają się od konstrukcji, a nie aksjomatyki. Dużo gorzej się to czytało. Myślę, że dla każdej algebry zdefiniowanych liczb powinna być przynajmniej jedna podsekcja z aksjomatyką i jedna z konstrukcją (nawet jeżeli w każdej sekcji ma być tylko jedno zdanie, a konstrukcja jest analogiczna jak dla liczb zespolonych).

Mam nadzieję, że ten komentarz jest przydatny. Nie mam uprawnień do głosowania, ale życzę powodzenia (widzę, że na razie dobrze idzie... Qblik Zostaw wiadomość 16:54, 10 kwi 2007 (CEST)

To faktycznie dobry pomysł. Dziękuję za konstruktywną krytykę. Spróbuję dostosować wszystkie sekcje do schematu aksjomatyka-konstrukcja (przynajmniej tam, gdzie to jest możliwe, bo liczby kardynalne i porządkowe nie pasują do tego schematu), jednak potrzebuję na to nieco czasu. Pozdrawiam, Olaf @ 19:40, 10 kwi 2007 (CEST)

---

Usystematyzowałem wstęp, wydzielając sekcję "metody definiowania liczb". Zamiast zmieniać tytuł artykułu i usuwać podzbiory nie tworzące własnych algebr, uznałem je za szczególny przypadek konstrukcji i dodałem sekcje "Ważne podzbiory liczb naturalnych", całkowitych, rzeczywistych, zespolonych... Dodałem wszędzie, gdzie tylko istnieje, aksjomatyki odpowiednich liczb.

Wydaje mi się więc, że uwzględniłem chyba wszystkie zgłoszone uwagi Qblika i Kusziego. Olaf @ 00:51, 11 kwi 2007 (CEST)

Przejrzałem ponownie i zmiany bardzo mi się podobają i idą zdecydowanie we właściwym kierunku. Czy dobrze rozumiem, że liczby kardynalne oraz porządkowe nie mogą się znaleźć na schemacie, ponieważ nie tworzą one zbiorów (tylko klasy)? Jakoś tak chciałoby się mieć je tam razem z resztą. Łatwiej byłoby je w tej całej hierarchii umiejscowić gdyby znalazły się w grafice. Zauważyłem też, że w grafice są także "tessariny", o których nie ma ani słowa w artykule... Qblik Zostaw wiadomość 01:31, 11 kwi 2007 (CEST)

Ok, spróbuję dodać liczby kardynalne, porządkowe, i nadrzeczywiste do schematu, choć będzie to wymagało wprowadzenia osobnego symbolu, bo dla klas nie ma zdefiniowanej relacji zawierania. Przy okazji dopiszę też tessariny, kokwaterniony, kooktoniony i kosedeniony, tylko sam się musze douczyć ;-) Olaf @ 01:34, 11 kwi 2007 (CEST)

Ja jestem przeciwko. Gdyby liczby porządkowe nazywały się np. ordynki (ordynek to pewne pojęcie algebry), to nikt by nie chciał ich włączać do diagramu. Moim zdaniem to tylko zaciemni sprawę większości ludzi, by potem widzieć takie cuda jak np. $\frac{1}{\aleph_0}$. Jestem zdecydowanie na nie, gdyby kto pytał. Loxley 09:20, 11 kwi 2007 (CEST)

Liczby kardynalne w pewnym sensie jednak rozszerzają liczby naturalne. Skończone liczby kardynalne można uszeregować utożsamiając 0 z $card(\empty)$ a następnie definiując następnik liczby $x$ jako najmniejszą liczbę kardynalną większą od $x$. Wówczas skończone liczby kardynalne spełniają aksjomaty Peano, więc są tożsame z liczbami naturalnymi. Wydaje mi się więc, że liczby kardynalne wcale nie przypadkowo nazwane zostały liczbami. Do diagramu włączać nie trzeba, ale w treści jednak bym zostawił.

$\frac{1}{\aleph_0}$ jak najbardziej jest możliwe w liczbach nadrzeczywistych (surreal numbers; wg. en-wiki tworzą ciało obejmujące zarówno liczby porządkowe jak i rzeczywiste). Co jest kolejnym argumentem, za tym, że te teoriomnogościowe konstrukty to jednak pewne liczby i może jednak warto je opisać zamiast usuwać ? :-) Olaf @ 20:30, 11 kwi 2007 (CEST)

Aha, moim zdaniem aksjomatyka oktanionów nie jest potrzebna, bo i nikt specjalnie od tych tworów niczego nie żądał. Użyto metody konstrukcji C-D i zbadano ich własności. Poza tym co oznacza "ale jest łączne w algebrze tworzonej przez każde dwa z jej elementów." Loxley 09:45, 11 kwi 2007 (CEST)

To zdanie przepisałem z art. oktawy Cayleya. Przyznaję, że nieco bezmyślnie. Ok, zaraz wyrzucę tę sekcję. Olaf @ 20:30, 11 kwi 2007 (CEST)

Loxlye ma chyba racje, jeżeli dodanie ich do diagramu wymaga definicji specjalnych symboli/operacji, bo inkluzja nie wystarcza, to lepiej nie komplikować niepotrzebnie. Jednocześnie ponowiłbym sugestię, czy nie usunąć tych konstrukcji z artykułu (gdyż jak rozumiem ponieważ są one klasą to nie tworzą struktury algebraicznej). Moim zdaniem artykuł nie będzie w stanie zdefiniować wszystkich istniejących konstrukcji liczb (w en wiki znalazłem jeszcze en:Superreal number oraz en:Hyperreal number, których chyba w artykule nie ma]], więc może należy gdzieś postawić rozsądną granicę. Jedną taką granicą (którą mam na myśli) jest to aby mowa była o zbiorze (a nie o klasie) liczb.

Ok, nie bardzo wiadomo, gdzie się kończą liczby a zaczyna zwykła algebra liniowa, ale na pewno kryterium zbioru nie jest tu wystarczające, rozmaite dziwne twory jak macierze czy tensory też w zasadzie tworzą zbiory, algebry i zawierają w sobie półpierścień liczb naturalnych. Olaf @ 20:30, 11 kwi 2007 (CEST)

Jestem za zostawieniem liczb porządkowych, gdyż są jednym z ważniejszych uogólnień liczb naturalnych. Pozdrawiam Kuszi 20:42, 11 kwi 2007 (CEST).

Ponadto, ponieważ we wstępie można teraz przeczytać, że "liczby mogą być definiowane [...] przez stworzenie konstrukcji", więc sugestia Loxleya dotycząca oktanionów ma sens. Qblik Zostaw wiadomość 16:30, 11 kwi 2007 (CEST)

Ok, zaraz wyrzucę. Olaf @ 20:30, 11 kwi 2007 (CEST)

---

Odnośnie wstępu - według mnie jest o wiele lepiej. Brakuje mi jeszcze akapitu, który wprost mówi, że dodawanie i mnożenie w zbiorach rozszerzonych musi się zgadzać na podzbiorze izomorficznym z liczbami naturalnymi, chociaż nie jestem pewien, czy tak jest rzeczywiście dla wszystkich opisywanych zbiorów. Co prawda dodawanie i mnożenie na różnych zbiorach wygląda inaczej (przykładowo dla liczb porządkowych działania te nie są przemienne), to nie można ich przecież zdefiniować zupełnie byle jak. Jest na samym początku zdanie: ...wszystkie one rozszerzają na różne sposoby algebrę liczb naturalnych, co właściwie wyjaśnia sprawę, jednak nie zaszkodzi chyba to trochę rozwinąć. Może na przykład w Metody definiowania liczb, tuż przed Izomorfizm konstrukcji? O ile oczywiście nie plotę bzdur. Pozdrawiam Kuszi 02:07, 11 kwi 2007 (CEST).

Zaraz pewnie dodam, tylko wykąpię córeczkę. Olaf @ 20:30, 11 kwi 2007 (CEST)

Dodałem coś takiego, ale nie we wstępie (jak na wstęp za bardzo zaawansowane): "Jeśli jakieś zbiory liczbowe tworzą algebrę i zawierają podzbiór również tworzący algebrę, to działania na liczbach z tego podzbioru muszą dawać w obydwu algebrach identyczne wyniki. W ten sposób każda kolejna algebra liczbowa rozszerza poprzednią." Aksjomatykę oktonionów usunąłem, liczby kardynalne i porządkowe jak na razie zostawiłem. Olaf @ 22:05, 11 kwi 2007 (CEST)

Orajt, niech zostaną ale lepiej ich nie dodawać do diagramu. :) Co do tych działań, to lepiej system, nie algebrę - algebra mówimy potocznie, ale w matematyce alegebra to inaczej K-algebra. Możnaby to też zapisać symbolicznie: Innymi słowy, jeśli $(X, +_X, \cdot_X), (Y, +_Y, \cdot_Y)$ są systemami (liczbowymi) oraz $X\subseteq Y$, to ${+_Y|}_X=+|_X$ oraz ${\cdot_Y|}_X=\cdot|_X$. Loxley 22:29, 11 kwi 2007 (CEST)

Ale o ile po angielsku jest różnica pomiędzy number system i numeral system, to po polsku system liczbowy jest rozumiany znacznie częściej jako system zapisu liczb. Jeśli zmienię te algebry na "systemy liczbowe", to obawiam się, że całkowicie zaciemnię sprawę. Jeśli już, to może "struktura algebraiczna"?

Dlaczego uważasz, że "algebra" oznacza akurat K-algebrę? Wydaje mi się, że raczej algebrę uniwersalną. Przecież mamy algebrę Boole'a, algebrę Heytinga, algebrę Liego, R-algebrę, F-algebrę, algebrą początkową i to raczej nie są K-algebry... Olaf @ 19:52, 12 kwi 2007 (CEST)

Alebra + przymiotnik, to nazwa innej struktury, ale domyślnie algebra bez przymiotnika to po prostu algebra nad ciałem K, czyli K-algebra, ale może za bardzo się czepiam. :) Wymiennie możnaby użyć słowa struktura. Loxley 20:10, 12 kwi 2007 (CEST)

Nie rozumiem, czemu algebra nie może być skrótem od algebra ogólna (w tym artykule jest zresztą wprost powiedziane, że "algebra ogólna" skraca się do "algebra"), ale może i masz rację. Zmienisz (jako, bądź co bądź, współautor)? Olaf @ 20:25, 12 kwi 2007 (CEST)

Spoko, przesadzam czasem. Algebra może być. Loxley 22:37, 12 kwi 2007 (CEST)

---

Liczby algebraiczne - proponuję usunąć zdanie: Z przestępności liczby π wynika niewykonalność kwadratury koła. - chyba za bardzo odbiega od tematu. Kolejne też budzi moje wątpliwości: Pomiędzy ciałem liczb wymiernych a ciałem liczb algebraicznych istnieje nieskończenie wiele ciał pośrednich. - jak już się to wie, to jest jasne o co chodzi, ale jak nie to obawiam się, że to zdanie jest niezrozumiałe. Pozdrawiam Kuszi 22:56, 12 kwi 2007 (CEST).

Kwadraturę usunąłem, ciała pośrednie opisałem tak, żeby było bardziej zrozumiałe i dałem przykład. Olaf @ 23:47, 12 kwi 2007 (CEST)

---

Dodałem liczby nadrzeczywiste.

Ściśle można zdefiniować tylko poszczególne rodzaje liczb, etykietka "liczba" to tylko tradycja, a nie wyróżnienie jakiejś jednej cechy i nic na to nie poradzę... Olaf @ 10:44, 15 kwi 2007 (CEST) Zajrzałem jeszcze do innych encyklopedii:

• Britannica definiuje liczbę jako "Basic element of mathematics used for counting, measuring, solving equations, and comparing quantities.",
• PWN jako "abstrakcyjne pojęcie, pierwotnie służące do określania liczebności zbiorów przedmiotów (liczby naturalne), a następnie do wyrażania wielkości ciągłych",
• WIEM podaje: "Liczba, podstawowe pojęcie matematyki, jego sens ulegał ewolucji i sprecyzowaniu w toku rozwoju cywilizacyjnego głównie na skutek rozszerzania reguł arytmetycznych" i żadnej definicji nie ma.
• MathWorld - chyba najlepsza encyklopedia matematyki na sieci - w ogóle nie ma hasła "number", choć oczywiście ma hasła o każdym rodzaju liczb.

Generalnie żadnej ścisłej definicji pojęcia liczba nie ma. Olaf @ 11:15, 15 kwi 2007 (CEST)

Jeszcze odnośnie zarzutu "o czym jest ten artykuł". Zbiera on w jedną całość definicje różnych algebr i zbiorów liczbowych. Definicje te stanowią pewien ciąg (kolejne korzystają z poprzednich), dlatego jest sens umieszczać je w jednym artykule. Olaf @ 12:35, 15 kwi 2007 (CEST)

---

Prośba o zgłaszanie ewentualnych drobnych uwag i pomysłów na to co dodać/usunąć w dyskusji do samego artykułu (o ile nie są istotne w kwestii przynania / nie przyznania medalu), bo chyba przeładowujemy drobiazgami stronę propozycji do artykułów na medal i jeszcze trochę, a większość tekstu WP:PAnM będzie stanowiła dyskusja kilku pasjonatów matematyki o algebrze. ;-) Olaf @ 01:47, 13 kwi 2007 (CEST)

• Florianf. Większość moich uwag ma charakter sugestii no i są to uwagi laika:

1. Właśnie jako laikowi brakuje mi konkretnych przykładów - np. gdy są omawiane liczby naturalne, całkowite, wymierne itd., są abstrakcyjne sformułowania, nie ma konkretów - ja chętnie bym je tu widział, mimo, że na początku może to być banalne, to potem może zwiększyć zrozumiałość tekstu. Pewnie matematyka takie przykłady mogą zniesmaczać ale przecież nikt nie urodził się matematykiem... Biorąc pod uwagę rzesze dzieci, które będą ten tekst czytały, być może takie przykłady są wskazane ;)
2. Sekcja Aksjomatyka Peano. Jeśli dobrze zrozumiałem, to te pięć aksjomatów definiuje zbiór liczb naturalnych. Ale dla mnie z tych aksjomatów nie wynika, że po jedynce musi być dwójka a nie np trójka. Ja jestem ciemny jak kret w tym względzie, proszę mnie potraktować jak durnia, ale ihmo brakuje tu jakiejś definicji odstępu między jedynką a jej "następnikiem". Bez tej definicji ja zadaję sobie pytanie dlaczego następnik jest zdefinowany jako dwa a nie np półtora.
3. Niektórzy matematycy zaliczają zero do liczb naturalnych, inni nie. Jest to wyłącznie kwestia nazewnictwa. - podlinkowanej stronie do liczb całkowitych nie ma tej wzmianki a zero jest jakby osobną liczbą (to nie należy do tematu, ale jest nieścisłość).
4. Zdanie Niektórzy matematycy zaliczają zero do liczb naturalnych, inni nie. Jest to wyłącznie kwestia nazewnictwa stawia jako równorzędne definiowanie liczb N tak lub siak. Ale dalej są podane tylko aksjomaty dla liczb N z zerem, które nie sprawdzają się dla defninicji N bez zera. Troszkę to niesprawiedliwe
5. Sekcja Ważne podzbiory liczb naturalnych jest POVowo nazwana. Może lepiej "niektóre podzbiory liczb naturalnych"? Podobnie jak niżej w arcie, odnśnie innych liczb.
6. Nieściśle mówiąc, liczbę całkowitą można skonstruować jako zbiór wszystkich par liczb naturalnych, które dałyby ten sam wynik przy odejmowaniu Nasuwa się pytanie dlaczego "nieściśle mówiąc"? To jest tylko drobna sugestia, ale aby takie pytanie się nie nasuwało to ihmo lepiej przestawić te akapity. Najpierw podać ścisłą definicję, a potem ten "nieścisły opis" jako próbę jej wytłumaczenia. Ale to takie moje widzimisię.
7. Zdanie Najbardziej naturalnym przykładem (występującym w praktyce) liczby, nie będącej liczbą wymierną... troszkę pachnie POVem. Być może lepiej po prostu "Naturalnym przykładem..." tym bardziej, że potem następują przykłady, które ktoś inny również może uznać za "najbardziej naturalne" - np. stosunek obwodu i średnicy.

Przez całą podstawówkę byłem asem z matmy, ale widać czegoś mnie nie nauczyli, bo nic nie rozumiem ;) Nie będę głosować (a jeślibym głosował to na +), ponieważ nie jestem w stanie ocenić merytorycznej zawartości tekstu, ale wyrażam uznanie dla pracy. Wygląda na to, że dzięki takim artom Wikipedia staje się profesjonalną skarbnicą wiedzy. Tak więc jeszcze raz wyrazy uznania. Florianf POV 23:48, 17 kwi 2007 (CEST)

Dziękuję za uznanie. Odpowiedzi:
Ad 1. Takie przykłady są w liczba. Ten artykuł ma tylko przedstawić ich aksjomaty i konstrukcje. Jeśli uważasz, że takie przykłady są tu potrzebne, to mogę je dodać, ale jeden z przedmówców ganił mnie za treści niezwiązane z tematem, więc wolałbym tego nie robić. Choć może i faktycznie jedno zdanie w każdej sekcji nie zaszkodzi...
Ad 2. Dzięki za zauważenie. To, że odstęp do następnika wynosi 1 a nie 1,5 wynika z definicji działań. Dopiszę o tym akapit, ale chyba już nie dziś.

A jednak zdążyłem dzisiaj. :-) Olaf @ 16:12, 18 kwi 2007 (CEST)

Ad 3. Na jakiej podlinkowanej stronie?

liczby całkowite - tam zero jest jakby trzecie prócz liczb naturalnych i "liczb przeciwnych do naturalnych". To nie jest oczywiście żaden argument przeciwko Twojemu (czy też Waszemu) tekstowi, to tylko taka uwaga na marginesie - zwykła nieścisłość. Floriann POV 20:54, 21 kwi 2007 (CEST)

Ad 4. Bo dla liczb naturalnych bez zera trochę trudniej zdefiniować dodawanie i mnożenie. Ok, uzupełnię w najbliższym czasie.

Zrobione Olaf @ 16:12, 18 kwi 2007 (CEST)

Ad 5. Zmieniłem.
Ad 6. Nieściśle, bo zwrot "które dałyby ten sam wynik przy odejmowaniu" zakłada, że możemy je odejmować, a to wymaga użycia liczb całkowitych, których jeszcze nie zdefiniowaliśmy. Błędne koło - definiujemy liczby całkowite za pomocą liczb całkowitych. Ok, przestawiłem.
Ad 7. Zmieniłem
W podstawówce nie ma nic o aksjomatach, ale chyba i tak muszę trochę podszlifować styl. Dzięki za opinie. Olaf @ 12:12, 18 kwi 2007 (CEST)

IHMO styl jest OK, tylko sobie żartowałem. Pozdrowienia Floriann POV 20:54, 21 kwi 2007 (CEST)

Aksjomatyka Kaye

Do artykułu przydałaby się pewna uwaga co do aksjomatyki Kaye. Tutaj: [4] czytamy:

"Peano arithmetic (PA) is a reformulation of the second-order Peano axioms as a first-order theory. The motivation for this reformulation is that first-order theories are more amenable to analysis in model theory and proof theory. The source of difficulty with Peano's axioms is the second-order induction axiom. In order to avoid problems with defining the addition and multiplication operations from the successor operation within the theory, discussed above, it is common to add these functions and their defining axioms directly to the basic first-order axiomatization.

There are many different, but equivalent, formulations of the axioms for Peano arithmetic. One common formulation, described here, begins by defining a first-order theory PA⁻ whose models are the discrete ordered semirings. Then an induction schema is added to PA⁻ to obtain PA. [...] The axioms of PA⁻ given by (Kaye 1991) are:"

Dalej są aksjomaty Kaye i aksjomat indukcji. Jeszcze fragment:

"An important property of PA⁻ is that any structure M satisfying this theory has an initial segment isomorphic to the natural numbers. Elements of the structure that are not in this initial segment are called nonstandard elements."

Aksjomaty Kaye definiują PA^-, czyli PA bez aksjomatu indukcji. PA⁻ mogą spełniać inne systemy nieizomorficzne z systemem liczb naturalnych.

Właśnie wymyśliłem przykład: niech X oznacza zbiór liczb naturalnych z zerem skonstruowany np. metodą von Neumanna. Rozpatrzmy ciągi f:X->X w których od pewnego miejsca występują same 0. Możemy potraktować je jako ciągi współczynników wielomianów i wykonywać na nich działania dodawania i mnożenia, w taki sam sposób jak robi się to w pierścieniu wielomianów R[x]. Relacja porządku może być taka: $f > g \iff \lim_{x \to \infty} (f(x)-g(x)) > 0$ (ta definicja używa pojęcia granicy, ale można to zrobić bez niej, porównując kolejno współczynniki). Ten system spełnia aksjomaty Kaye. A przecież nie spełnia aksjomatu indukcji. Zgadza się z en-wiki: zawiera początkowy segment izomorficzny z naturalnymi - w tym przypadku są to ciągi w których we wszystkich miejscach prócz pierwszego są zera. Chodzi mi o to, że aksjomatyka Kaye nie pozwala na pozbycie się aksjomatu indukcji i w tym wydaniu jest niepełna, te aksjomaty do dodawania i mnożenia są po to aby PA⁻ było logiką pierwszego rzędu. googl d 22:33, 10 maja 2007 (CEST)

Wygląda na to, że masz rację. Co prawda aksjomaty Peano bez aksjomatu indukcji też są teorią pierwszego rzędu. Więc nie bardzo widzę, dlaczego aksjomatyka Kaye miałaby poprawiać sytuację. Spróbowałem to wprowadzić do artykułu, spróbuj sprawdzić, czy dobrze. Olaf @ 20:42, 11 maja 2007 (CEST)

Myślę że tak może być. Sens aksjomatyki Kaye jest wyjaśniony prawdopodobnie tu: "In order to avoid problems with defining the addition and multiplication operations from the successor operation within the theory, discussed above, it is common to add these functions and their defining axioms directly to the basic first-order axiomatization." Czyli aksjomaty Kaye definiują podstawowe działania, a bez nich trzeba uciekać się do definicji indukcyjnej: x+0 = x, x+S(y)=S(x+y) i wplatywać się w język drugiego rzędu.

Btw, w aksjomacie 6. zakłada się, że $x \cdot 0 = 0$, usuwam to założenie bo jest zbędne i wystarczy $x+0=x$, dowód:

Lemat: jeżeli dla pewnego $c \in \mathbb{N}$ zachodzi $c+c=c$, to $c=0$.

Dowód lematu:

Z aksjomatu 15 wynika, że $c = 0$ lub $c > 0$. Jeżeli $c=0$ to mamy tezę. Niech teraz $c>0$:

$c>0$

Dodając obustronnie c (możemy to zrobić z aksjomatu 11) otrzymujemy:

$c+c > c$

Zatem z aksjomatu 9 (przeciwzwrotności) mamy $c+c \not = c$. Sprzeczność z założeniem, liczba c musi być równa 0.

Dowód że druga część aksjomatu 6. wynika z pozostałych:

Z pierwszej części aksjomatu 6. mamy że $x+0=x$ w szczególności $0+0=0$, więc $x \cdot 0 = x \cdot (0+0)$.

Z aksjomatu 5 rozdzielności mamy $x \cdot (0+0) = x \cdot 0 + x \cdot 0$.

Stąd $x \cdot 0 = x \cdot 0 + x \cdot 0$.

Z lematu wynika, że $x \cdot 0 = 0$. googl d 22:09, 11 maja 2007 (CEST)

Gratuluję naprawdę dobrego zrozumienia tej aksjomatykii zdolności matematycznych. Mam jednak zastrzeżenie: Aksjomatyka nie musi składać się z minimalnej liczby aksjomatów. W porządku, ta część aksjomatu 6 jest niepotrzebna, ale tak to Kaye sformułował. IMHO zamiast ją usuwać, trzeba by dodać ten dowód do artykułu w przypisach przy tym aksjomacie. Bo tak jak teraz, to czytelnik uzna, że to jest aksjomatyka Kaye, a to jest jej zmodyfikowana wersja. Inna sprawa, że Peano też oryginalnie dał więcej aksjomatów, które pierwotnie były w artykule, ale potem je wyrzucono, bo w tej chwili uważa się je za część logiki. Ale uważa się tak powszechnie, a Twoja modyfikacja jest jak rozumiem original research (choć udowodnionym matematycznie, więc jak najbardziej weryfikowalnym i do artykułu trafić IMHO może).

Mam też wrażenie, że za mało napisałem o tych problemach z aksjomatem indukcji (nie wspomniałem nawet o PA^-), ale nie bardzo umiem więcej. Olaf @ 22:32, 11 maja 2007 (CEST)

Postaram się przemyśleć to jeszcze jutro, na razie cofnąłem zmianę i muszę iść. Co do aksjomatyki, masz rację, aksjomaty nie muszą być niezależne od siebie, tu jest minimalistyczna aksjomatyka rzeczywistych używająca 8 aksjomatów, a definicji jako ciała uporządkowanego z aksjomatem supremum nikt nie wyrzuca... Ogólnie w półpierścieniu nie musi zachodzić 0*x=0 i tą własność podaje angielska wiki, natomiast odpowiednia relacja porządku wymusza 0*x=0. Pozdrawiam, googl d 22:54, 11 maja 2007 (CEST)

O, ładne, dziękuję. Dodałem tę aksjomatykę Tarskiego do artykułu. Olaf @ 23:23, 11 maja 2007 (CEST)

Dedekind

Cytat z artykułu:

Przekrojem Dedekinda zbioru $\mathbf{X}$ nazywamy parę zbiorów $(A,B)$ taką, że $A,B\subseteq \mathbf{X}$ oraz spełnione są następujące warunki:

1. $A\neq\varnothing, B\neq\varnothing$,
2. $A\cup B=\mathbf{X}$,
3. jeżeli $a\in A$ i $b\in B$, to $a<b$.

Zbiór $A$ nazywamy klasą dolną, a zbiór $B$ klasą górną przekroju. Przekrój wyznaczony parą zbiorów $(A,B)$ oznaczamy $[A,B]$.

[...]

istnieją trzy możliwości:

1. $A$ ma element największy, należący do $\mathbb{Q}$
2. $B$ ma element najmniejszy, należący do $\mathbb{Q}$
3. Klasa $A$ nie ma elementu największego oraz klasa $B$ nie ma elementu najmniejszego.

ad 1. $A=\{x\in\mathbb{Q}\colon x\leq 1\}, B=\{x\in\mathbb{Q}\colon x>1\}$

ad 2. $A=\{x\in\mathbb{Q}\colon x<1\}, B=\{x\in\mathbb{Q}\colon x\geq 1\}$

[...]

Liczby rzeczywiste można zdefiniować jako przekroje Dedekinda zbioru liczb wymiernych. Jeśli klasa dolna przekroju $[A,B]$ ma element największy lub klasa górna największy - $a\in \mathbb{Q}$, to nazywamy go liczbą rzeczywistą wymierną. Jeśli przekrój $[A,B]$ wyznacza lukę, to nazywamy go liczbą rzeczywistą niewymierną.

Koniec cytatu.

I tu wątpliwość. Z pierwszego fragmentu wynika, że przekrój Dedekinda to odpowiednia para zbiorów, a [A,B] to po prostu konwencja notacyjna na (a,b). Pary uporządkowane są równe wtedy i tylko wtedy gdy mają równe poprzedniki i następniki. W takim wypadku podane w drugim fragmencie przykłady ad 1. i ad 2. to dwa różne przekroje. A przecież oba wyznaczają liczbę 1. Z trzeciego fragmentu wynikałoby że są to dwie różne liczby wymierne. Jakoś trzeba utożsamić przekroje typu 1 i 2.

Rozwiązania widzę takie:

1. Napisać słownie "utożsamiamy odpowiednie przekroje typu 1 i 2", ale niezbyt to pasowałoby do ogólnego poziomu ścisłości artykułu.
2. Napisać ściśle w jaki sposób się je utożsamia - ja bym to widział jako relację równoważności i definicję $\mathbb R$ jako przestrzeni ilorazowej. To jest ścisłe, ale w książkach nie widzę takiego podejścia i zahacza o original research.
3. Jako liczbę rzeczywistą definiujemy przekrój typu 2 lub 3, pomijając przekroje typu 1. Myślę że to byłoby najprostsze.

Co myślicie? googl d 00:12, 12 cze 2007 (CEST)

Myślę, że wystarczy zdefiniować relację równości dwóch liczb rzeczywistych zdefiniowanych za pomocą przekrojów:

$[A,B]=[C,D]\Leftrightarrow A\cap D=B\cap C=\empty$

I wtedy każdy przekrój jest liczbą, ale te dwa przekroje, choć różne w sensie teorii mnogości, są równe w sensie liczb rzeczywistych. Olaf @ 20:02, 21 cze 2007 (CEST)

Wg mnie nie bardzo możemy to ująć w ten sposób, bo dla $A=\{x\in\mathbb{Q}\colon x\leq 1\}, B=\{x\in\mathbb{Q}\colon x>1\}, C=\{x\in\mathbb{Q}\colon x<1\}, D=\{x\in\mathbb{Q}\colon x\geq 1\}$ mamy, że $B\cap C=\empty$, ale $A\cap D=\{1\}$. Może rozwiązaniem byłoby konstruowanie rzeczywistych przekrojami tylko jednego typu, to jest chyba zupełne, zresztą izomorfizm dałoby się dość łatwo zdefiniować.89.167.85.225 (dyskusja) 00:44, 14 sty 2011 (CET)

Zbiory a klasy

A propos Russella... z tekstu wynika, że zamiana słowa "zbiory" na "klasy" rozwiązuje w jakiś sposób problem (paradoks zbioru wszystkich zbiorów), gdy tym czasem jest to tylko zabieg sofistyczny, językowy, i w istocie nic nie zmienia.Dlaczego klasa nie miałaby być zbiorem?

W żadnym wypadku nie jest to tylko zabieg stylistyczny. Zbiory są szczególnymi przypadkami klas, ale nie odwrotnie. Klasy nie będące zbiorami to tzw. klasy właściwe. Nie wszystkie operacje dozwolone na zbiorach są dozwolone na klasach właściwych. Istnieje klasa wszystkich zbiorów, ale nie istnieje zbiór wszystkich zbiorów. Olaf @ 14:04, 7 paź 2007 (CEST)

Liczby zespolone

Przy liczbach zespolonych jest taka tabelka z definicjami. Problem polega na tym, że jak już mamy zdefiniowane mnożenie, to nie bardzo możemy mówić o definiowaniu elementu neutralnego dla tego działania... Joasiak 15:48, 8 lis 2007 (CET)

Słusznie, definiuje się dodawanie, mnożenie i ewentualnie porządek, a istnienie elementu neutralnego i odwrotnego wynika z definicji działań. Ale jakby to zaznaczyć? Chcąc być konsekwentnym trzebaby rozdzielić to w pozostałych konstrukcjach, a przy definiowaniu mnożenia liczb wymiernych korzysta się z elementu przeciwnego. googl d 23:28, 8 lis 2007 (CET)

Konstrukcja Cayleya-Dicksona

IP zmienił miejsca w których jest wykonywane sprzężenie w konstrukcji Cayleya-Dicksona. Przepisałem to kiedyś z en-wiki. Próbowałem zweryfikować tę edycję, ale w sieci znajduję potwierdzenie i starej i nowej wersji. Zdaje się, że to jednak nowa wersja jest poprawna (przez głosowanie ;-) ), ale wolałbym zweryfikować to w źródłach pisanych. Niestety w posiadanych książkach z algebry jej nie mam, a nie chce mi się przeliczać łączenia zespolonych w kwaterniony, żeby to sprawdzić. Macie może jakieś źródła? Przypuszczam, że obydwie wersje tworzą poprawne (choć nieidentyczne) algebry Clifforda, jednak konstrukcja Cayleya-Dicksona to chyba jednak nazwa tylko tej nowej wersji.

stara wersja

(a,b)(c,d)=(ac-db*,a*d+bc)

• http://www.ziemiaprzyszlosci.pl/samochody//w/en/Cayley-Dickson_construction
• http://www.math.ucr.edu/home/baez/octonions/node5.html

nowa wersja

(a,b)(c,d)=(ac−d*b,ad+bc*)

• http://www.ziemiaprzyszlosci.pl/samochody//w/en/Octonion
• http://www.geocities.com/zerodivisor/cdconstruction.html
• http://www.math.uni-kiel.de/geometrie/klein/math/geometry/dickson.html
• http://planetmath.org/encyclopedia/DoublingProcess.html
• http://orion.math.iastate.edu/jdhsmith/math/JS26jan4.htm
• http://www.ziemiaprzyszlosci.pl/samochody//w/de/Verdopplungsverfahren

Olaf @ 16:43, 14 lis 2007 (CET)

Niezbyt wiele mogę pomóc, ale znalazłem jeszcze en:Talk:Cayley-Dickson construction (jeszcze inny wzór?) googl d 23:51, 14 lis 2007 (CET)

Skąd się wzięły pewne liczby

Pytają się uczniowie, czemu tak się dzieje

Że aż tyle różnych dziwnych liczb istnieje,

Ułamki, pierwiastki, liczby urojone,

ujemne, .... Do czego przydadzą się one?

Otóż, przede wszystkim, gdy coś zliczyć chcemy,

na naturalnych liczbach operujemy.

Dobrze się je mnoży i dobrze dodaje,

lecz od mniejszej większej odjąć się nie daje.

Mamy na to radę - sposób znakomity:

Po to wprowadzamy zbiór liczb całkowitych.

Dołączamy liczby, co dla wielu dziwne -

ujemne, czyli do dodatnich przeciwne,

Ale jest z tym zbiorem jeszcze jaka? bieda,

bo się ilorazu obliczyć w nim nie da.

Dlatego ułamki wszystkie dołączamy

i do liczb wymiernych nasz zbiór rozszerzamy.

Gdy uporządkować liczb wymiernych ciało,

widać, że coś jeszcze by nam brakowało.

Między ułamkami są jak gdyby dziury.

Nie każdy podzbiór ograniczony od góry

posiada kres górny w liczb wymiernych zbiorze.

Dalsze rozszerzanie jednak pomóc może.

Liczby rzeczywiste więc konstruujemy

i ciało zupełne tak otrzymujemy,

Ale jest w tym ciele jeszcze jedna wada:

nie każdy wielomian pierwiastek posiada.

By temu zaradzić, były wprowadzone

do matematyki liczby zespolone.

Ludolfina. Skąd się wzięty pewne liczby. Delta 8 (1996). str. 17.

Liczby kardynalne

Cyzm są liczby kardynalne? Klasami równolicznych zbiorów (na gruncie ZF) czy pewnymi liczbami porządkowymi (na gruncie ZFC)?

Moim zdaniem, każdy zbiór X ma moc, już na gruncie ZF: albo klasę wszystkich zbiorów równolicznych ze zbiorem X, albo zbiór wszystkich zbiorów równolicznych ze zbiorem X które mają minimalny stopień ("Scott's trick").

Liczby kardynalne to inna rzecz. Moim zdaniem (raczej: moim uczuciem) liczby kardynalne to tylko początkowe liczby porządkowe.

Myślę że gdzieś czytałem to odróżnienie między mocami (cardinalities) i liczbami kardynalnymi (cardinal numbers), ale nie pamiętam, gdzie.

Alef (dyskusja) 21:43, 22 gru 2007 (CET)

Operacja Cayley-Dicksona

Operacja Cayleya-Dicksona ma działać dla każdej algebry z inwolucją *. Przy jej zastosowaniu do liczb rzeczywistych z inwolucją identyczność powstają liczby zespolone z inwolucją sprzężenie zespolone i podana definicja * pasuje tylko do tego szczególnego przypadku! Powinno być (a,b)* = (a*,-b).

Źródła: Kurosz, Algebra ogólna, Browkin, Wybrane zagadnienia algebry itd.

MSz

Dziękujemy, zmieniłem. Mam pytanie, czy obecny wzór na mnożenie w artykule jest poprawny? Tutaj jest opis zmiany która kiedyś zaszła. googl d 20:20, 4 lut 2008 (CET)

Izomorfizm konstrukcji

Nie jestem pewien, czy można powiedzieć, że różne konstrukcje naturalnych są `izomorficzne' -- co prawda twierdzenie wywiedlne z aksjomatów mają taką samą prawdziwość we wszystkich, ale wydaje mi się, że modele tak konstruowane nie mogą być izomorficzne element-do-elementu. W szczególności z twierdzenia o zupełności wynika, że istnieją modele, w których zachodzi Twierdzenie Goodsteina i takie, w których ono nie zachodzi. Powiedziawszy to, nie mam pewności, jakie jest poprawne słownictwo odnośnie tej odpowiedniości, więc nie zmieniam artykułu i byłbym wdzięczny, gdyby ktoś potwierdził lub obalił moje objekcje. Robryk (dyskusja) 17:49, 16 lut 2008 (CET)

Zależy od języka w którym wszystko formalizujemy. Cytowana aksjomatyka Peano (aP), jak wspomniane w tekscie, jest wyrażona w języku drugiego rzędu i jak Richard Dedekind udowodnił jest ona kategoryczna, czyli każde dwa modele spełniające te aksjomaty są izomorficzne.

Teraz: matematycy/logicy wolą języki pierwszego rzędu. Dlatego rozważają Arytmetykę Peany (PA) która jest wyrażona w języku pierwszego rzędu i która powstaje przez zastąpienie aksjomatu indukcji schematem (nieskończoną listą) aksjomatów pierwszego rzędu. Teoria PA jest znacznie słabsza niż aksjomatyzacja Peany, w szczególności nie jest kategoryczna (tzn ma wiele różnych i do tego nierównoważnych modeli).

Twierdzenia Gödla mówią o teoriach pierwszego rzędu, czyli w naszym przypadku stosują się do PA ale nie do aksjomatów Peano.

Napisanie artykułu o PA i być może o "aP vs PA" jest na mojej liśćie "to do" i jak Olaf Apostata wróci, to postaram się w końcu to zrobić (na razie brak czasu). Stotr (dyskusja) 15:02, 18 lut 2008 (CET) PS: pewnie dobrze by było wyjaśnić to w artykule tutaj, hm? (Jak Apostata wróci?) Trochę poprawiłem bo zauważyłem iż o co było napisane mogło być zrozumiane źle. Może teraz jest trochę lepiej? Stotr (dyskusja) 17:16, 18 lut 2008 (CET)

Sugestia odnośnie sekcji Aksjomatyka Peano

Myślę, że polska Wikipedia zasługuje na to by mieć osobne hasło na ten temat. (Tak jest w en-wiki i 16 innych wersjach językowych) W tym haśle oczywiście można znaczną część pozostawić wstawiając pod nagłówkiem sekcji szablon main. Delimata (dyskusja) 09:05, 30 sie 2008 (CEST)

Ta sekcja komponuje się IMHO z resztą artykułu. Gdy powstanie bardziej rozbudowany artykuł o aksjomatach Peano dodamy w niej szablon main. Tylko kto ten artykuł napisze? Kuszi (dyskusja) 10:37, 31 sie 2008 (CEST).

konstrukcje Fregego i Russella

Odnośnie konstrukcji Fregego i Russella. Relacja "dwa zbiory są równoliczne" pozwala na uporządkowanie zbiorów skończonych w klasy. Jednak liczby naturalne są jedynie etykietami tych klas, a te tworzą zbiór. Prawda?

Rzeczywiście. Dzięki. Wyrzuciłem nieprawdziwe stwierdzenie. Markotek (dyskusja) 19:26, 27 lis 2008 (CET)

Konstrukcja przy pomocy ciągów Cauchy'ego

Zgodnie z definicją mnożenia mamy np. 0,123*0,123=0,149. Tak?

Nie, jak Ci to wyszło?

Chcąc pomnożyć a*b=c zgodnie z tą konstrukcją tworzy się ciąg przybliżeń każdego z czynników a i b, a potem mnoży odpowiadające sobie przybliżenia. Powstaje pewien ciąg Cauchy'ego, który jest związany z liczbą rzeczywistą c, np.

$a_1=0, b_1=0, c_1=a_1 b_1=0\;$

$a_2=0.1, b_2=0.1, c_2=a_2 b_2=0.01\;$

$a_3=0.12, b_3=0.12, c_3=a_3 b_3=0.0144\;$

$a_4=0.123, b_4=0.123, c_4=a_4 b_4=0.015129\;$

$a_5=0.123, b_5=0.123, c_5=a_5 b_5=0.015129\;$

kolejne wyrazy mogą być takie same, bo mnożymy liczby wymierne

W ten sposób dostajemy ciąg c=(0,0.01,0.0144,0.015129,0.015129,...) o granicy 0.015129, czyli odpowiada on liczbie rzeczywistej 0.015129 czyli tyle ile wynosi wynik mnożenia, a nie żadne 0.149.

Twój przykład jest dość trywialny, bo mnożysz liczby wymierne, dlatego ciąg może być od pewnego momentu stały. Dla liczb niewymiernych tak by już nie było i mielibyśmy trzy ciągi Cauchy'ego a,b,c liczb wymiernych, o granicy niewymiernej. Markotek (dyskusja) 18:09, 9 gru 2008 (CET)

Jedno pytanie: czy w tabelce "ciąg stale równy 0/1" nie należałoby poprawić na "ciąg zbieżny do 0/1"? Albo, powiedzmy, dodać na przykład?

Dzielenie

Dzielenie jest dzialaniem w zbiorze liczb wymiernych? Ono nie jest przecież funkcją (nie jest zdefiniowane dla zera).

Jest działaniem w zbiorze liczb wymiernych, bo jest funkcją częściową. Natomiast nie jest działaniem na zbiorze liczb wymiernych. Markotek (dyskusja) 21:53, 18 gru 2008 (CET)

Liczby całkowite

Aksjomat indukcji dwustronnej jest zawsze spełniony, nawet przy osłabionych założeniach: "Jeżeli M jest zbiorem liczb całkowitych, (...) wtedy M jest zbiorem liczb całkowitych." Myślę że lepiej byłoby to sformułować tak jak w aksjomatach Peano.

Dzięki, poprawione. Markotek (dyskusja) 12:49, 15 lut 2010 (CET)

Aksjomatyka Tarskiego

Jeśli dobrze myślę, to drugi aksjomat porządku w aksjomatyce Tarskiego jest szczególnym przypadkiem trzeciego. Chyba wypadałoby to zmienić, inaczej trudno nazywać tę aksjomatykę minimalistyczną.

• Faktycznie, jeśli przyjąć: X={x}, Z={z} oraz x<z to istnieje y, takie że x<y<z.
  хіИ оН хоЯ ■ Pogaduszki:хіИ оН хоЯ 23:17, 22 lut 2011 (CET)
  • Rzeczywiście dziwne. Problem w tym, że tak właśnie jest oryginalnie u Tarskiego: [5], str. 214. Nie mam pojęcia czemu tak to wymyślił. Olaf @ 10:09, 23 lut 2011 (CET)

• Chciałem skromnie zauważyć, że w takiej postaci trzeci aksjomat Tarskiego jest fałszywy. Wystarczy jako $X$ przyjąć liczby rzeczywiste ujemne a jako $Y$ całą resztę (łącznie z zerem $0$). Wtedy zachodzi założenie trzeciego aksjomatu, ale nie znajdziemy liczby spełniającej tezę. No chyba że w tej tezie zamienimy mniejszość-większość <, > na słabą większość-mniejszość ≤, ≥. Ale wówczas drugi aksjomat już nie będzie konsekwencją trzeciego tzn. będzie od niego niezależny, bo w nim na pewno musi być ostra nierówność <. I chyba o to chodziło Tarskiemu. --H. Kozera (dyskusja) 14:58, 23 lut 2011 (CET)
  • Albo przyjmiemy dodatkowo, że oba zbiory są otwarte albo oba są domknięte.
    хіИ оН хоЯ ■ Pogaduszki:хіИ оН хоЯ 22:31, 23 lut 2011 (CET)