Dyskusja:Prosta

Hasło Prosta w dniach od 24 października do 27 października 2007 było umieszczone na stronie głównej jako artykuł na medal.

Dyskusja i głosowanie z kandydatów na medal

Prosta

• Uzasadnienie: gruntownie przerobiony, zawiera szeroki zakres materiału, obejmuje wszystkie istotne aspekty, najobszerniejszy artykuł na ten temat na wszystkich Wikipediach. Olaf _D 02:13, 13 lut 2007 (CET)
• Główni autorzy artykułu: Olaf
• Głosy za:

1. Olaf _D 02:13, 13 lut 2007 (CET)
2. Galileo01 15:46, 13 lut 2007 (CET)
3. Bartosz Marcin Kojak (BrokenglaSS) Dyskusja 11:29, 14 lut 2007 (CET)
4.  Za ładnie napisane na dość trudny do rozwinięcia temat --Czarnoglowa 05:46, 17 lut 2007 (CET)
5. BaQu 13:08, 17 lut 2007 (CET)
6.  Za Szoltys [DIGA] 20:30, 22 lut 2007 (CET)
7.  Za Slaweks 17:59, 24 lut 2007 (CET)
8.  Za 14:03, 25 lut 2007 (CET) Porządny artykuł
9.  Za JD ^dyskusja 20:32, 25 lut 2007 (CET) respect !

    Za--Czarnoglowa 02:12, 1 mar 2007 (CET) Bardzo dziękuję, Czarnogłowo, za podpisywanie się pod tym medalem obiema rękami, ale już raz tu głosowałaś... ;-) (Olaf)

10. Florianf POV 23:57, 1 mar 2007 (CET) Widać, że tekst pisany przez speca, który rozumie co pisze. Czytelne, dobrze ułożone, medal niezależnie od uwag.
11. ArturM  dyskusja 00:09, 2 mar 2007 (CET)

     Za Neogotyk 10:25, 4 mar 2007 (CET) Za mało edycji Florianf POV 11:47, 11 mar 2007 (CET)

12. Michal.sfinks Dyskusja 12:11, 6 mar 2007 (CET)
13.  Za StoK 14:56, 7 mar 2007 (CET)
14.  Za Loxley 10:54, 11 mar 2007 (CET) Już jest dodane prawie wszystko czego mi brakowało, więc mogę zagłosować na tak, co nie znaczy przestanę czuwać nad tym artykułem i redagować go. :)
15.  Za Sitek 12:18, 11 mar 2007 (CET)
16.  Za. Airwolf {D} 20:29, 12 mar 2007 (CET) (dorzucam się na sam koniec :) )

• Głosy przeciw:

• Dyskusja:

Imponujący artykuł, widać sporo porządnej pracy. Co prawda bibliografia trochę uboga, ale to niewielka w sumie wada. Galileo01 15:46, 13 lut 2007 (CET)

Jest druga sekcja "literatura dodatkowa" (zgodnie z zaleceniami artykułów na medal)

Sześć, a w zasadzie pięć pozycji o jednym z najpowszechniejszych pojęć matematycznych to mimo wszystko za mało. Galileo01 17:07, 13 lut 2007 (CET)

Postaram się rozszerzyć w ciągu ok. tygodnia. Olaf _D 22:01, 13 lut 2007 (CET)

Po wizycie w Bibliotece Narodowej bibliografia urosła do ok. 20 pozycji, a artykuł wzbogacił się o sekcję "Geometria wykreślna" Olaf _D 18:24, 17 lut 2007 (CET)

W takim razie nie mam więcej zastrzeżeń :) Galileo01 23:38, 19 lut 2007 (CET)

Sugeruję zmianę nazwy artykułu na "Linia prosta". Krystian Dyskusja 21:21, 13 lut 2007 (CET)

W matematyce przyjęte jest raczej określenie "prosta" a nie "linia prosta". W PWN, Interii, i WIEM jest jako "prosta". Nawet w XIX-wiecznym Orgelbrandzie jest "prosta". Myślę, że jednak obecna wersja tytułu jest lepiej uzasadniona. Olaf _D 22:01, 13 lut 2007 (CET)

Też uważam, że nazwa "prosta" jest lepsza, a mam - chcąc, nie chcąc - spore doświadczenia związane z matematyką. Galileo01 17:25, 14 lut 2007 (CET)

Florianf POV 23:57, 1 mar 2007 (CET) Mam takie uwagi:

1. W sekcji "niektóre ważne proste" jest "wysokość trójkąta" - to jest odcinek, a nie prosta.
2. "Prostą najłatwiej określić jako zbiór punktów spełniających pewne równanie liniowe" - Dla niektórych najłatwiej a dla innych nie. Może lepiej "Prostą można okreslić jako..." ponadto im dalej się czyta, tym mniej jest to najłatwiejsze ;)
3. W "geometrie nieeuklidesowe": Sformułowanie to było długie i stosunkowo mało oczywiste w porównaniu z innymi pewnikami, jednak było Euklidesowi niezbędne do przeprowadzenia wielu ważnych dowodów - Może warto podać jaki ważny dowód Euklidesa wymagał tego pstulatu prostej (np. w przypisie)?
4. Zdanie W geometrii hiperbolicznej przez punkt nie leżący na danej prostej przechodzą nie mniej niż dwie różne proste nie przecinające danej prostej. Tyle tu prostych, że wszytko się poplątało.
5. Czy byłoby na miejscu dodanie zdania o próbach rozstrzygnięcia przez astronomów, która z geometrii (euklidesowa, Riemanna) lepiej oddaje naturę wszechświata i w związku z tym czy proste równoległe przecinają się czy się jednak nie przecinają?

Artykuł fajny, IMO trochę przeładowany przez wzory, ale piszę to tylko żeby się przyczepić ;) Florianf POV 23:57, 1 mar 2007 (CET)

Ad 1 Szczególnie, że nawet jako prosta zdefiniowana była w niepoprawny sposób w przypadku trójkątów o kącie rozwartym - wyrzuciłem, dziękuję za znalezienie błędu

Ad 2 zmieniłem

Ad 3 dopisałem

Ad 4 Spróbowałem troszkę poprawić to zdanie - jest o jedną prostą i o jedno "matematycznie brzmiące" sformułowanie mniej.

Ad 5 Wydaje mi się, że to już raczej do art. Geometria nieeuklidesowa albo czasoprzestrzeń. Jeśli chodzi o geometrię, to jak na razie przyjmuje się, że jest to przestrzeń pseudoriemannowska - modyfikacja geometrii Riemanna, tak aby jeden z wymiarów (czas) był wyróżniony.

Co do wzorów - wielu użytkowników właśnie tego będzie szukało. Można ewentualnie rozbić na podartykuły... Zdaję sobie sprawę, że równania są najnudniejszą częścią artykułu, ale z punktu widzenia matematyków to one naprawdę mówią coś o prostej, reszta to tylko intuicyjne przybliżenia i wypracowania z polskiego. Też potrzebne, ale nie dość ścisłe. ;-)

Olaf

Dopracowałem pewne szczegóły, napisałem coś o pęku prostych, ale przydałoby się jeszcze coś więcej napisać z punktu widzenia algebry liniowej. Mam pisać jeszcze? Loxley 16:19, 9 mar 2007 (CET)

No pewnie, że tak. :-) Nareszcie ktoś z sensem pomaga go rozszerzać. Jeśli będę miał czas, może uda mi się ruszyć model Poincarego, ale teraz z czasem będzie u mnie krucho... Dzięki za redakcję i dodatki. Olaf @ 16:48, 9 mar 2007 (CET)

Niniejszy fragment (już z rozpędu modyfikowany przeze mnie) usunąłem:

---

W n-wymiarowej geometrii kartezjańskiej prosta wprowadzana jest jako zbiór punktów $(x_1,x_2,\dots,x_n)$, których współrzędne spełniają zależność:

$a_1 x_1+a_2 b_2+\dots +a_n x_n=0$

gdzie $a_1,...,a_n$ to parametry, które wszystkie nie mogą być jednocześnie równe zero.

---

Autor (prawdopodobnie również z rozpędu) pomylił prostą z hiperpłaszczyzną n-1 wymiarową.

Szczera prawda, przyznaję się do pomyłki. Olaf 20:56, 1 kwi 2004 (CEST)

Należałoby też podać interpretację wektora [a,b] w przypadku dwywymiarowym. Albo zrobi to ktoś, albo ja, gdy znajdę czas. WojciechSwiderski 19:43, 1 kwi 2004 (CEST)

definicja prostej

z faktu, że punkt prosta itp są pojęciami pierwotnymi teorii nie wynika brak ich definicji co więcej muszą być zdefiniowane żeby z nich można było korzystać w tworzeniu teorii--Aksel07 00:05, 3 wrz 2006 (CEST)

Podejście prymitywne

Wyrzuciłem ten fragment jako bzdurny. Prosta NIE JEST najkrótsza drogą łączącą dwa punkty, chyba że będą to punkty w nieskończoności. Drogą tą w przestrzeni euklidesowej jest odcinek. Bardzo proszę, szanowny kolego Aksel07 o wyjaśnienie, dlaczego tak upierasz się przy tym dość bzdurnym akapicie. Olaf _D 17:33, 27 sty 2007 (CET)

Linia prosta jest najkrótszą drogą łączącą dwa punkty

Ta prosta definicja, choć nieścisła (definiuje raczej skończony odcinek niż nieskończoną prostą), jest często wykorzystywana w życiu codziennym. Ogrodnik wytycza grządki rozpinając sznurek między dwoma patykami. Malarz napina przy ścianie sznurek otoczony w farbie, następnie odciąga go od ściany jak strunę i puszcza. Sznurek uderzając w ścianę pozostawia ślad farby wytyczjąc linię prostą. Płytkarz wbija w ściane gwoździe i naciąga na nich sznurek i jest to dla niego linia prosta. Nauczyciel rysuje kredą linię na tablicy oświadczając uczniom: to jest prosta i możemy ją dowolnie przedłużać w obie strony.

witaj szanowny Olafie

dlatego że:

• Euklides zdefinował podał definicję linii prostej jako skończonej (domniemanie związane z postulatami), którą to linie można przedłużać dowolnie w obie "strony" (w nieskończoność) to niefortunnie jest użyte.

To nie jest linia prosta. Definicja Euklidesa ma znaczenie historyczne i tylko historyczne, bo nie spełnia dzisiejszych standardów - to w ogóle nie jest definicja w sensie matematycznym.

• Dla każdego malarza; inżyniera czy ogrodnika linia prosta jest "skończona" Aksel07

Więc zrób artykuł "Prosta dla malarza i ogrodnika". Jeśli chodzi o inżynierów, to gdyby któryś palnął coś takiego na egzaminie, z pewnością by go oblał. Sam mam stopień inżyniera i sobie wypraszam...

problem czy zostawić czy nie podejście prymitywne jest związany z podejściem do redakcji artykułów. Ja uważam, że każda encyklopedia jest przeznaczona dla wszytkich ludzi niezależnie od ich wiedzy i wykształcenia.

Ja też tak uważam. Ale nie oznacza to, że możemy pisać rzeczy ewidentnie nieprawdziwe, a tylko że powinniśmy prawdę oblekać w zrozumiałe słowa.

• podejście prymitywne jest powszechne

Że ludzie są niedouczeni, to nie znaczy że mamy to promować.

• p.p. od niego uczniowie zaczynają geometrię w szkole podstawowej (nie znają jeszcze zbyt dobrze nieskończoności)

Nikt nawet w szkole podstawowej nie powie, że prosta jest skończona.

• pojęcie nieskończoności jest "młodsze" od "linii prostej"

Że co? A pojęcie zbioru Mandelbrota jeszcze młodsze. Co to za argument?

• brak p.p. jest chowaniem głowy w piasek

Ale przynajniej nie jest waleniem się po głowie młotkiem. W artykule graf zrobiono uproszczoną definicję i jest ona jednocześnie łatwa i nie zawiera rażących błędów. Da się.

• narysuj prosta na kartce papieru otrzyasz właśnie taką jaka jest hmm.. "zdefinowana" w p.p.

Narysuj jakiekolwiek pojęcie matematyczne. 2 to nie liczba dwa, tylko jakiś zakrętas. Odcinek to nie odcinek, bo jest za gruby. Fraktala w ogóle nie narysujesz, tylko jego przybliżenie. Co to za argument?

• czy bzdurą jest napinanie sznurka przez ogrodnika czy malarza (pokojowego)?

Nie. Bzdurą jest wsadzanie tego do artykułu o prostej. Zrozum. Przymiotnik "prosty" i matematyczna "linia prosta" to co innego. Sznurek jest prosty, ale nie jest prostą. Taka "prymitywna definicja" nadaje się do wikisłownika jako definicja tego przymiotnika, ale nie do wikipedii jako definicja matematyczna.

• a może bzdurą jest ten "odcinek" narysowany kredą na tablicy przez nauczyciela, o którym on mówi uczniom "..prosta" ?

Jeśli tylko powie im przy tym, że ciągnie się w nieskończoność, to nie.

• słowo prymitywne określa tę definicję jako "niematematyczną" potoczną

To może w ogóle skopiujmy całość nonsensopedii jako "definicje prymitywne"? Skoro definicja według Ciebie nie musi być poprawna, jeśli tylko jest potoczna...

• p.p. jest obrazowe i jest przejściem mięzy światem realny a abstrakcją

To wprowadza w błąd. Jak któryś z uczniów poda coś takiego na klasówce to dostanie pałę i będzie na nas.

• ostatnie ? gdzie w p.p. jest cokolwiek o Euklidesie.Na marginesie obecne przestrzenie euklidesowe maja nieiele wspólnego z tymi, o których pisał Euklides [[Wikipedysta:Aksel07]] 09:13, 29 sty 2007 (CET)

A ja coś takiego mówiłem?

Na koniec kawał z moich czasów studenckich: "Czym się różni student politechniki od prostej? Prosta jest nieograniczona". Oczywiście krążył na mej macierzystej Politechnice Warszawskiej. ;-) Olaf _D 21:42, 29 sty 2007 (CET)

Wyrzuciłem kolejny trywialny i jednocześnie mylący akapit, "prosta na rysunkach". Linia na rysunkach technicznych bynajmniej nie musi być najcieńsza możliwa i nigdy nie jest to prosta, jak sam zauważyłeś, tylko reprezentacja odcinka na wykresie. Olaf _D 22:13, 29 sty 2007 (CET)

Prosta cd

tylko kilka odpowiedzi

• dowcip; prosta jest nieograniczona (w odróżnienbiu od studenta) tak rzecze Euklides bo jedną z jej własności jest to że można ją dowolnie przedłużać. Nie musiała dla niego być nieskończona i nie była. Jego świat był "skończony".

Jego tak, współczesnej matematyki nie. Definicja Euklidesa jak najbardziej ma sens jako historia matematyki, ale nie jako definicja tego co uważa się za prostą dzisiaj.

• też jestem po politechnice wydz mechaniczny. Pamiętasz geometrię wykreślną i rysowałeś "proste", nie mów ,że nie :), i prosta jest rysowana. Obrysowałem się tego multum.

Ok, masz rację. Proste daje się zamarkować na rysunku, co nazywamy ich rysowaniem. Nie jest to dowód na to, że prosta jest skończona, tak jak nie jest to dowód na to że jest gruba, a przecież na rysunku ma zawsze niezerową długość.

• zacytuję nas obu ...ostatnie ? gdzie w p.p. jest cokolwiek o Euklidesie.Na marginesie obecne przestrzenie euklidesowe maja nieiele wspólnego z tymi, o których pisał Euklides ;Aksel07

A ja coś takiego mówiłem? Olaf.... koniec cytatu

ano mówiłeś cytuję.. Wyrzuciłem ten fragment jako bzdurny. Prosta NIE JEST najkrótsza drogą łączącą dwa punkty, chyba że będą to punkty w nieskończoności. Drogą tą w przestrzeni euklidesowej jest odcinek.

Nadal nie wiem, w którym miejscu powiedziałem, że "obecne przestrzenie euklidesowe mają dużo wspólnego z tymi o których pisał Euklides."

• szkoda,że zamiast argumentów używasz epitetów np:Wyrzuciłem ten fragment jako bzdurny;

Wyrzuciłem kolejny trywialny nie wnoszących nic do dyskusji

Przepraszam, poniosło mnie.

• encyklopedia nie jest i nie może być podręcznikiem. Jest za to zbiorem wiedzy powszechnej, a nie tylko uniwersyteckiej

Encyklopedia nie może zawierać nieprawdziwych definicji.

• nie mów, że ogrodnik Ludwika XVI był człowiekiem niedouczonym. Był to fachowiec nad fachowce.

A ten ogrodnik twierdził, że matematyczna prosta jest skończona? Wątpię żeby w ogóle się wypowiadał na ten temat. Poza tym bycie fachowcem w jakiejś dziedzinie nie oznacza, że jest się nim we wszystkich.

• przywracam oba bo uważam je za niezbędne.
• potocznie nie znaczy nonsensownie są to określenia dotyczące różnych cech.

Tak. W ogólnym przypadku nie oznacza. Nie dlatego krytykuję ten fragment, że jest potoczny, tylko dlatego, że wprowadza w błąd - dzisiaj prosta z definicji jest nieskończona.

• -ponoć jest jakiś system odwoławczy ?? od naszych rozterek [[Wikipedysta:Aksel07]] 17:56, 31 sty 2007 (CET)

Zdaje się że jest RFC. Nigdy go nie stosowałem, ale jak chcesz to spróbuj. Olaf _D 22:33, 31 sty 2007 (CET)

Końce krzywej

Dotyczy fragmentu:

* Przez "zakończenie" krzywej rozumiemy taki jej punkt P, dla którego nie istnieje taki ε, że każdy okrąg o promieniu mniejszym niż ε i środku w P ma więcej niż jeden punkt wspólny z krzywą.

Nie jest to moja twórczość własna, ale nie pamiętam gdzie to przeczytałem. Definicja jest zresztą dość oczywista - jeśli krzywa ma w danym punkcie zakończenie (jak np. końce odcinka), to dla dostatecznie małej skali (małego ε) okrąg o promieniu ε przetnie ją już tylko w jednym punkcie. Nie dotyczy to niektórych "dzikich" krzywych (krzywa Peano), ale one akurat według aktualnej definicji nie są w ogóle uważane za krzywe.

W tej sytuacji jednak, skoro mam podać źródła, których nie jestem w stanie znaleźć, wycofuję się i zmieniam definicję na bardziej "łopatologiczną", ale mniej ścisłą. Nie chcę jednak pisać "rozciąganej w nieskończoność z dwóch stron krzywej" (coś podobnego było wcześniej), choć tutaj źródeł jest bez liku (np. [1] ), bo takie określenie może być zakwestionowane w stosunku np. do kół wielkich na sferze (modelu prostej dla geometrii eliptycznej). Tymczasem aktualna definicja (jak i wycofana) pasują do wszelkich wymienionych w artykule przestrzeni metrycznych i o ile wiem do wszelkich przestrzeni metrycznych w ogóle.

Olaf _D 20:43, 4 lut 2007 (CET)

przestrzeń wielowymiarowa

dorzuciłbym w tym dziale odległość punktu od od prostej

Pytanie

Jak rozumieć następujące stwierdzenia z sekcji "Definicja Euklidesa":

Euklides zdefiniował też aksjomaty geometrii, tzw. pewniki.

• tu chyba dosłownie: euklides określił aksjomaty nauki zwanej geometrią, które to aksjomaty nazywa się też pewnikami, są one opisane w artykule Elementy.

konrad ^mów!

Ale zdefiniował a określił różnią się znaczeniami. Poza tym, raczej: "sformułował"... Urzyfka

jaka jest dokładnie różnica między wspomnianymi wyżej trzema słowami, z góry dzięki! :D konrad ^mów! 10:32, 28 lip 2007 (CEST)

Zdefiniować można jakieś pojęcie pokazując jak je odróżnić od innych, "sformułować" i "określić" znaczą moim zdaniem to samo - ująć w słowa. "Określić" oznacza też czasem "wymienić cechy czegoś", czyli jest używane w znaczeniu "zdefiniować", ale nie w matematyce, gdzie wymienienie cech to trochę za mało żeby coś zdefiniować. Aksjomaty nie są definiowanymi pojęciami, tylko raczej same w pewnym sensie są definicjami lub składnikami definicji. Więc IMHO Urzyfka ma tu rację i zastosowałem do nich błędne słowo. Natomiast zarówno "określił" jak i "sformułował" byłoby według mnie dopuszczalne. Już zmieniłem w artykule. Olaf @ 11:05, 28 lip 2007 (CEST)

oraz

Ze względu na odkryte luki w aksjomatyce Euklidesa, wprowadzono aksjomatykę Hilberta, która obowiązuje do dziś.

Urzyfka 14:23, 27 lip 2007 (CEST)

• a tu rzeczywiście dobrze byłoby wskazać o jakie luki chodzi. konrad ^mów! 14:31, 27 lip 2007 (CEST)

Tu z kolei chodziło mi o obowiązywanie aksjomatyki. Co to znaczy, że aksjomatyka obowiązuje? Urzyfka

Luki: aksjomatyka Euklidesa jest niezupełna. Istnieją twierdzenia (np. twierdzenia Desarguesa oraz Pappusa-Pascala), które nie dają się za jej pomocą ani udowodnić ani obalić. Zdaje się istnieją nawet różne od siebie (nieizomorficzne) przestrzenie, które ją spełniają, choć tu mogę się mylić.

Obowiązuje, to znaczy za słownikiem języka polskiego ([2]) "2. jest powszechnie uznaną zasadą lub zwyczajem" - Po prostu to właśnie aksjomatyka Hilberta jest najczęściej przyjmowana przez dzisiejszych matematyków do aksjomatyzacji przestrzeni euklidesowej. Olaf @ 21:20, 27 lip 2007 (CEST)

Niektóre ważne proste

W sekcji Niektóre ważne proste pojawiają się m. in. linki do prostej Eulera i prostej Simsona.

prosta Eulera – pewna szczególna prosta w trójkącie prosta Simsona – inna ciekawa prosta w trójkącie

Jak to brzmi? Raczej niezbyt encyklopedycznie. Szczególnie w artykule na medal. Proponuję jakoś to poprawić. Buahaha (dyskusja) 22:24, 5 cze 2008 (CEST)

Iloczyn wektorowy w przestrzeni wielowymiarowej

W sekcji "Przestrzeń wielowymiarowa" używa się symbol $\times\,$, który chyba ma oznaczać iloczyn wektorowy. Ale bardzo wątpię, czy istnieje takie pojęcie: iloczyn wektorowy dwóch wektorów w przestrzeni n-wymiarowej, gdzie n>3. W przypadkach tego artykułu chyba dosyć będzie pisać, że wektory są równoległe, zamiast tego, że ich iloczyn wektorowy jest równy 0. --D.M. from Ukraine (dyskusja) 21:29, 15 lis 2008 (CET)

Istnieje iloczyn n-1 wektorów, czyli więcej niż dwóch. Przeszedłem na postać parametryczną, powinno być ok. Markotek (dyskusja) 21:08, 16 lis 2008 (CET)

Dodawanie wektora do punktu

W dwóch miejscach, gdzie podano równania parametryczne, pisze się dodawanie wektora do punktu. Może, lepiej zamienić punkt wektorem o tych samych współrzędnych? --D.M. from Ukraine (dyskusja) 21:32, 18 lis 2008 (CET)

Odległość dwóch prostych skośnych (w R^3)

Zachęcam do dodania materiału dotyczącego odległości dwóch prostych od siebie.

Prosta#Geometria hiperboliczna (Łobaczewskiego)

Zmieniłem opis modelu Minkowskiego. Hiperboloida jednopowłokowa nie może być modelem geometrii hiperbolicznej z tak podstawowego powodu, że ma topologię różną od topologii płaszczyzny (jest homeomorficzna z $\mathbb{S}^1\times\mathbb{R}$). Opis modelu Minkowskiego można znaleźć tu: http://www.geom.uiuc.edu/~crobles/hyperbolic/hypr/modl/mnkw/ . Niestety przy tej okazji poległa ilustracja, ale nie mogę się podjąć zrobienia poprawnej, może komuś uzdolnionemu uda się wziąć którąś z hiperboloid dwupowłokowych z Commons http://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Hyperboloids_of_two_sheets i dorobić płaszczyznę|płaszczyzny przecinającą|przecinające. Papageno (Pisz do mnie tu) 20:46, 18 kwi 2011 (CEST)

_____________________

Znana, pominięta definicja prostej ?

Brakuje mi definicji odnoszącej prostą do najmniejszej odległości między 2 punktami. Taka, poprawna z matematycznego i logicznego punktu widzenia definicja chyba istnieje i powinna brzmieć tak:

Prosta- to taki (ciągły(?)) zbiór nieskończenie wielu punktów w przestrzeni, że wszystkie punkty, które znajdują się pomiędzy dowolnie wybranymi dwoma punktami z tego zbioru, wyznaczają pomiędzy tymi dwoma najmniejszą odległość, zaś wszystkie punkty prostej wyznaczają odległość nieskończoną.

Trzy punkty na prostej

Dziękuję za przydatny artykuł. Wydaje mi się że znalazłem błąd: w akapicie "Trzy punkty na prostej", "Inny warunek konieczny i wystarczający". Według podanego kryterium, punkty (0,0), (0,1), (1,0) są współliniowe, co jest oczywiście nieprawdą. Wydaję mi się że zapis "jeśli któryś z mianowników tego równania jest zerem, odpowiadający mu licznik także jest zerem" wyraża zbyt silny warunek, bo to właśnie przez niego podane kryterium zawodzi na wspomnianych trzech punktach.