Dywergencja

Dywergencja (albo rozbieżność, źródłowość) pola wektorowego - operator różniczkowy przyporządkowujący trójwymiarowemu polu wektorowemu pole skalarne będące formalnym iloczynem skalarnym operatora nabla z polem. Operator dywergencji pojawia się w sposób naturalny w kontekście całkowania form zewnętrznych w przestrzeni trójwymiarowej (zob. twierdzenie Gaussa-Ostrogradskiego nazywane czasem twierdzeniem o dywergencji), a więc ma szereg konkretnych interpretacji fizycznych, związanych np. z mechaniką płynów.

W niniejszym artykule $\mathbf{F}=(F_1, F_2, F_3)$ oznaczać będzie pole wektorowe klasy C¹ w przestrzeni $\mathbb{R}^3$, to znaczy funkcję $\mathbf{F}\colon U\to \mathbb{R}^3$ określoną na zbiorze otwartym $U\subseteq \mathbb{R}^3$, różniczkowalną w sposób ciągły (tj. taką, której pochodne cząstkowe ze względu na każdą ze zmiennych są funkcjami ciągłymi) . Dywergencją pola F nazywamy pole skalarne div F dane wzorem

$\mbox{div}\,\mathbf{F}(x,y,z)=\frac{\partial F_1(x,y,z)}{\partial x}+\frac{\partial F_2(x,y,z)}{\partial y}+\frac{\partial F_3(x,y,z)}{\partial z}$.

Często opertator dywergencji oznacza się także przez $\nabla\cdot \mathbf{F}$ - symbol iloczynu skalarnego ma tu jedynie charakter symboliczny, sugeruje on jednakże, iż dywergencję można traktować formalnie jako iloczyn skalarny operatora nabla z wektorem pola.

Definicja dywergencji, jako pola skalarnego, jest związana z wyborem układu współrzędnych. Można jednak zdefiniować dywergencję nieco ogólniej, odwołując się do twierdzenia Gaussa-Ostrogradskiego. Przypomnijmy, iż mówi ono tyle, że jeżeli $V$ jest zwartym podzbiorem przestrzeni $\mathbb{R}^3$, którego brzeg jest dodatnio zorientowany oraz kawałkami gładki, a $\mathbf{F}$ jest polem wektorowym klasy C¹, określonym na zbiorze otwartym, zawierającym $V$, to

$\iiint\limits_V\mbox{div}\,\mathbf{F}\,dV=\iint\limits_{\partial V} \mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS,$

gdzie $\mathbf{n}=\mathbf{n}(x,y,z)$ jest jednostkowym wektorem normalnym do dS w punkcie $(x,y,z)$. W związku z tym można zdefiniować dywergencję w każdym punkcie $M=M(x,y,z)$ zbioru U poprzez ściąganie powierzchni V (takich, że $M$ jest punktem $V$, gdzie V jak w powyższym twierdzeniu) do punktu. Dokładniej, można zdefiniować

$\operatorname{div}\,\mathbf{F} = \lim_{|V| \rightarrow 0} \frac{1}{|V|}\iint\limits_{\partial V} {\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}} \; dS$,

gdzie $|V|$ oznacza objętość V.

Uwaga: symbol $dS$ ($dV$), nazywany elementem powierzchni (elementem objętości), oznacza formalnie 2-formę (3-formę) postaci dx ∧ dy (dx ∧ dy ∧ dz).

Interpretacja w mechanice płynów

Rozważany jest problem przepływu cieczy nieściśliwej przy występowaniu źródeł (albo wycieków). Wydajnością źródeł wewnątrz zamkniętej powierzchni S nazywa się ilość cieczy wypływającej z powierzchni S w danej jednostce czasu. Innymi słowy, wydajność źródeł to strumień wektora prędkości v, to znaczy

$\iint\limits_{S} \mathbf{v}\cdot\mathbf{n}\,dS.$

Dla źródeł w danym obszarze rozłożonych w sposób ciągły, można wprowadzić pojęcie ich gęstości, to znaczy granicę wydajności źródeł w obszarze V, które zawierają punkt M na jednostkę objętości, tzn.

$\lim_{|V| \rightarrow 0} \frac{1}{|V|}\iint\limits_{\partial V} {\mathbf{v}\cdot\mathbf{n}} \; dS$,

co oznacza, że dywergencja pola prędkości cieczy jest w powyższym przykładzie gęstością źródeł.

Bibliografia

• Grigorij Michajłowicz Fichtenholz: Rachunek różniczkowy i całkowy, t.3. Warszawa: PWN, 1966, s. 310. 
• Walter Rudin: Podstawy analizy matematycznej. Warszawa: PWN, 1998, s. 237-239. ISBN 83-01-02846-7.