Działanie dwuargumentowe

Działanie dwuargumentowe a. binarne – w algebrze działanie algebraiczne o argumentowości równej 2, czyli funkcja przypisująca dwóm elementom inny; wszystkie elementy mogą pochodzić z innych zbiorów.

Oznaczenia

Działania, w przeciwieństwie do funkcji zapisywanych zwykle z wykorzystaniem zapisu przedrostkowego, np. $f(a, b),$ opisuje się najczęściej za pomocą zapisu wrostkowego, np. $a \oplus b,$ choć oczywiście nic nie stoi na przeszkodzie, aby korzystać z pozostałych sposobów: dla funkcji (działania) $\diamondsuit$ wyróżnia się notacje

• przedrostkową, prefiksową lub polską,

  $\diamondsuit(x, y),$

• przyrostkową, postfiksową lub odwrotną polską,

  $(x, y)\diamondsuit,$

• wrostkowa, infiksowa,

  $(x \;\diamondsuit\; y).$

Przykładowo wyrażenie wrostkowe $2 \cdot (4 - 1) + 3,$ będzie miało następującą postać

• prefiksową: $+\, \cdot\, 2\, -\, 4\; 1\; 3$,
• postfiksową: $2\, 4\, 1\, -\, \cdot\, 3\, +$.

Przewagą notacji przyrostkowej jak i przedrostkowej nad notacją wrostkowej jest fakt, że nawiasy w wyrażeniach można pominąć nawet wtedy, gdy działanie nie jest łączne.

Ze względu na tradycję, szczególnie jeśli rozważa się więcej niż jedno działanie i pozostają one między sobą w pewnej relacji, to funkcje w zapisie addytywnym zapisuje się zwykle z wykorzystaniem symboli zawierających:

• plus:

  $+ \oplus \bigoplus \uplus \biguplus \boxplus$ lub

• zwężających się ku dołowi:

  $\cup \bigcup \biguplus \sqcup \bigsqcup \vee \bigvee.$

Działanie odwrotne do powyższego zapisuje się zazwyczaj za pomocą symboli zawierających poziomą kreskę $- \circleddash \ominus \boxminus.$

Symbole działań w zapisie multiplikatywnym obejmują m.in.:

• kropkę lub okrągły znak:

  $\cdot \circ \bullet \bigodot \boxdot \;\circledcirc,$

• iks:

  $\times \otimes \bigotimes \boxtimes,$

• gwiazdkę:

  $\star \ast \circledast$ lub

• zwężające się ku górze

  $\cap \bigcap \sqcap \wedge \bigwedge.$

Popularne działania multiplikatywne (mnożenia) częstokroć nie posiadają oznaczenia. Działanie odwrotne do powyższego oznacza się najczęściej przez $\cdot^{-1},$ notacji wynikającej z definicji potęgowania.

Przykłady

Działania wewnętrzne

Działanie wewnętrzne to funkcja przypisująca każdej parze uporządkowanej elementów danego zbioru $X$ element tego zbioru,

$\heartsuit\colon X \times X \to X,\quad \forall_{x, y \in X}\; (x, y) \mapsto \heartsuit(x, y)$

Strukturę $(X, \heartsuit)$ nazywa się grupoidem. Jeśli jest ono dodatkowo łączne, strukturę tę nazywa się półgrupą. Jeśli działanie $\heartsuit$ ma dodatkowo element neutralny, to struktura $(X, \heartsuit)$ jest monoidem. Jeśli struktura $(X, \diamondsuit, \heartsuit)$ jest grupą ze względu na przemienne działanie $\diamondsuit$ i półgrupą ze względu na $\heartsuit,$ przy czym działanie $\heartsuit$ jest rozdzielne względem $\diamondsuit,$ to strukturę tę nazywa się pierścieniem. Jeżeli działanie $\heartsuit$ jest przemienne, to dowolną z powyższych struktur nazywa się przemienną.

Dodawanie, odejmowanie i mnożenie na liczbach rzeczywistych są działaniami dwuargumentowym w zbiorze liczb rzeczywistych. Dzielenie nie jest działaniem, gdyż nie jest określone dla par postaci $(x, 0).$ Mnożenie i dodawanie liczb jest łączne i przemienne. Z kolei odejmowanie i dzielenie, nie są ani łączne, ani przemienne. Elementem neutralnym dodawania liczb rzeczywistych jest $0,$ elementem neutralnym mnożenia jest $1.$ Działania odejmowania i dzielenia liczb rzeczywistych nie mają elementów neutralnych.

W zbiorze liczb naturalnych można określić działanie potęgowania: $x^y,$ które parze liczb $(x, y)$ przypisuje odpowiednią potęgę: $\forall_{x, y \in \mathbb N}\;(x, y) \mapsto x^y.$

Dodawanie wektorów w przestrzeni liniowej jest działaniem dwuargumentowym w zbiorze wektorów tej przestrzeni.

Działanie składania funkcji $\circ\colon X \times X \to X$ jest działaniem dwuargumentowym w zbiorze $X.$ W ogólności składanie funkcji jest łączne, ale nie jest przemienne.

Działania zewnętrzne

Działanie zewnętrzne to funkcja przypisująca każdej elementom iloczynu kartezjańskiego zbiorów $X$ oraz $Y$ element pewnego zbioru $Z,$

$\spadesuit\colon X \times Y \to Z,\quad \forall_{x \in X, y \in Y}\; (x, y) \mapsto \spadesuit(x, y)$

Przykładami takich działań są

• mnożenie przez skalar w przestrzeni liniowej $V$ nad ciałem $K,$

  $\cdot\colon K \times V \to V,$

• działanie grupy $G$ na zbiorze $X,$

  $\varphi\colon G \times X \to X,$

Zobacz też

• działanie zeroargumentowe,
• działanie jednoargumentowe.