Dziedzina całkowitości

Spis treści

1 Własności
2 Zobacz też
3 Bibliografia

Dziedzina całkowitości – niezerowy pierścień przemienny z jedynką bez (właściwych) dzielników zera. Pierścienie te są uogólnieniem pierścienia liczb całkowitych i stanowią one naturalny kontekst do badania podzielności ze względu na dość regularne reguły przeprowadzania rachunków; najistotniejszą ich własnością jest tzw. prawo skracania.

Nieprzemienne dziedziny całkowitości nazywa się dziedzinami, wiele pozycji jednak się nimi nie zajmuje (ograniczając się do klasy pierścieni przemiennych), nazywając dziedziny całkowitości w skrócie również dziedzinami. Inną nazwą dziedziny całkowitości, pochodzącą od Langa, jest pierścień całkowity.

[edytuj] Własności

Niech $R$ będzie dziedziną całkowitości. Jeżeli $a, b, c \in R,$ przy czym $c \ne 0,$ to zachodzi własność skracania:

jeśli $ac = bc,$ to $a = b.$

Każde ciało jest dziedziną całkowitości.

Każda skończona dziedzina całkowitości jest ciałem.

Dowód: Wystarczy wykazać, że dowolny element jest odwracalny. Rozważmy dla danego elementu $a$ jego iloczyny ze wszystkimi elementami pierścienia: $a a_1, a a_2, \ldots, a a_n$ . Gdyby wśród nich nie było jedynki, to pewien element występowałby dwa razy (co najmniej) dla iloczynów z różnymi elementami. Jednak wówczas $ab=ac$ i z własności skracania: $b=c$ .