Dzielenie przez zero

Dzielenie przez zero − w matematyce dzielenie, w którym dzielnik jest zerem; jako takie nie ma ono sensu, przez co bywa źródłem błędów obliczeniowych, często ukrytych.

Prostym przykładem błędu wynikłego z powodu dzielenia przez zero jest następujący: niech $a = 1$ i $b = 1,$ wówczas skoro $a = b,$ to również $a^2 = b^2$ oraz $a^2 - b^2 = 0,$ a ze wzoru na różnicę kwadratów jest $(a - b)(a + b) = 0.$ Dzieląc stronami przez $a-b$ uzyskuje się

$\frac{(a - b)(a + b)}{a - b} = \frac{0}{a - b},$

co jest równoważne $a + b = 0,$ a więc $1 + 1 = 0,$ skąd $2 = 0.$ Sprzeczność tę łatwo wyłowić zauważając, że $a - b = 1 - 1 = 0.$

Wytłumaczenie

Definiując działanie algebraiczne, które dla dowolnych dwóch liczb $a$ i $b$ przyjmowało wartości pokrywające się ze zwykłym dzieleniem, w przypadku gdy $b \ne 0$ oraz jakąkolwiek, ustaloną z góry, wartość dla $b = 0$ popada się w sprzeczność bądź niejednoznaczność. Działanie dzielenia określa się jako działanie odwrotne względem mnożenia, tzn.

$\frac{a}{b} = a \cdot \frac{1}{b},$

gdzie $\tfrac{1}{b}$ jest elementem odwrotnym do $b,$ dla którego z definicji zachodzić ma

$b \cdot \frac{1}{b} = 1.$

W ten sposób dzielenie przez zero jest tożsame z równaniem

$b \cdot 0 = 1,$

które jest sprzeczne dla dowolnego $b,$ o ile tylko $0 \ne 1.$ Definicja ciała zawiera ten warunek, dlatego dzielenie przez zero nie ma sensu w liczbach wymiernych, rzeczywistych, czy zespolonych; każdy pierścień spełniający warunek $0 = 1$ jest pierścieniem trywialnym zawierającym tylko ten element, a więc zdefiniowanie np. liczb całkowitych (tworzących pierścień) jest wtedy niemożliwe.

Z kolei napisowi $\tfrac{0}{0}$ można przypisać jakąkolwiek wartość, gdyż

$\tfrac{0}{0} = 0 \cdot \tfrac{1}{0} = 0,$

jakkolwiek nie dobrać wartości $\tfrac{1}{0}.$ Dlatego dzielenia zera przez zero również nie można nazwać działaniem, gdyż brak mu wymaganej jednoznaczności wyniku, która cechuje jakiekolwiek inne dzielenie przez liczbę różną od zera. W algebrze rozpatruje się pierścienie, które mają tzw. właściwe dzielniki zera (elementy, które pomnożone przez pewien inny dają w wyniku zero) − mimo braku zgodności z intuicją definicja takich elementów jest poprawna, choć nie można przez nie dzielić (podobnie jak przez zero, które jest jedynym dzielnikiem zera w ciałach), tzn. nie są odwracalne.

Oznaczenia

Choć symbol $\tfrac{a}{0}$ dla dowolnego $a,$ również dla zera, nie ma sensu, to oznaczenie to stosuje się w analizie matematycznej do oznaczania niewłaściwych granic ciągów, czy granic funkcji. Jeśli $a \ne 0$ jest dowolną liczbą, to symbol ten oznacza, że granicą ciągu bądź funkcji jest $\pm \infty$ (w zależności od znaku tej liczby). Symbol $\tfrac{0}{0}$ oznacza, że dana granica może mieć dowolną granicę właściwą bądź niewłaściwą, bądź może nie istnieć. W przypadku liczb rzeczywistych pomocne mogą się okazać inne kryteria zbieżności, np. twierdzenie Stolza w przypadku ciągów lub jego różniczkowy odpowiednik dla funkcji − reguła de l'Hospitala. Symbole te stosuje się również w kontekście liczb zespolonych, gdzie standardowo mają podobną interpretację.

Zobacz też

• dzielnik zera