Eksponenta macierzy

Eksponenta macierzy jest funkcją macierzową zdefiniowaną dla macierzy kwadratowych analogicznie jak klasyczna funkcja wykładnicza. Eksponentą macierzy rzeczywistej lub zespolonej n×n jest macierz n×n, oznaczana jako e^X albo exp(X), zadana przez szereg potęgowy

$e^X = \sum_{k=0}^\infty{X^k \over k!}.$

Właściwości

Jeżeli dowolne macierze zespolone n×n oznaczymy jako X i Y, dowolne liczby zespolone jako a i b, macierz jednostkową rozmiaru n×n jako I a macierz zerową rozmiaru n×n jako 0 to:

• e⁰ = I.
• e^aXe^bX = e^{(a + b)X}.
• e^Xe^−X = I.

Jeżeli macierze X i Y komutują (ich mnożenie jest przemienne XY = YX) to:

• e^Xe^Y = e^Ye^X.

Zobacz też

• macierz przejścia (automatyka)