Element algebraiczny

Element algebraiczny - uogólnienie pojęcia liczby algebraicznej na rozszerzenia dowolnych ciał. Liczby algebraiczne to elementy algebraiczne ciała liczb zespolonych nad ciałem liczb wymiernych.

Definicja

Niech $K$ będzie podciałem ciała $L$. Element $a \in L$ nazywamy elementem algebraicznym nad $K$ wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje niezerowy wielomian o współczynnikach z ciała $K$, którego pierwiastkiem jest $a$.

Element nie będący algebraicznym nad $K$ nazywamy elementem przestępnym nad $K$ w ciele $L$.

Własności

• Zbiór wszystkich elementów ciała $L$ algebraicznych nad $K$ tworzy ciało, zwane rozszerzeniem algebraicznym ciała $K$.
• Jeśli $a\in L$ jest elementem algebraicznym nad $K$, to

$K(a)=K[a]=\{f(a)\in L\colon\, f\in L[x]\}$ (por. oznaczenia w artykule rozszerzenia ciał)

• Dla każdego elementu algebraicznego $a\in L$ nad $K$ istnieje dokładnie jeden unormowany wielomian pierwszy $p_a$ o współczynnikach z ciała $K$ (tj. element pierwszy w pierścieniu $K[x]$), którego pierwiastkiem jest $a$. Wielomian $p_a$ nazywamy wielomianem minimalnym elementu algebraicznego $a$. Zachodzi $[F(a):F]=\deg p_a$. Stopień ten nazywamy stopniem elementu algebraicznego $a$.

Bibliografia

1. Andrzej Białynicki-Birula: Zarys algebry. Warszawa: PWN, 1987. 
2. Andrzej Mostowski, Marceli Stark: Elementy algebry wyższej. Warszawa: PWN, 1975.