Element objętości

Elementem objętości rozmaitości M w punkcie $x\in M$ nazywamy k-tensor antysymetryczny $dM(x) \in \Lambda^{k}(T_{x}M)$ taki że dla każdej bazy $(v_1, \dots ,v_k)$ przestrzeni $T_{x}M$ zachodzi: $dM(x)(v_1,\dots,v_k)=|R(v_1,\dots,v_k)| * sgn(v_1,\dots,v_k)$, gdzie $|R(v_1,\dots,v_k)|$ jest objętością równoległościanu rozpiętego na wektorach $(v_1,\dots,v_k)$

Równoważna definicja

Elementem objętości M w punkcie $x\in M$ nazywamy $dM(x) \in \Lambda^{k}(T_{x}M)$ taki że $dM(x)(e_1, \dots, e_k)=1$, gdzie $(e_1, \dots, e_n)$ jest dodatnio zorientowaną bazą ortonormalną przestrzeni stycznej $T_{x}M$. (Przykładem takiej bazy jest baza standardowa przestrzeni $\mathbb{R}^n$)

Problem

Definicje te są równoważne, ale w pierwszej nie widać od razu, czy jest to w ogóle tensor, natomiast trzeba wykazać, że druga definicja nie zależy od wyboru bazy ortonormalnej (jednoznaczność określenia). Definicje te wzajemnie uzupełniają swoje wady.

Zastosowanie

Objętość rozmaitości M określa się jako $\int\limits_{M}dM$, o ile ta całka istnieje co zachodzi z pewnością dla rozmaitości zwartej. "Objętość" zazwyczaj nazywa się długością lub polem powierzchni dla odpowiednio jedno- lub dwuwymiarowej rozmaitości, a dM standardowo oznacza się przez ds (element długości) lub przez dA (element pola powierzchni).

Bibliografia

• Górniewicz, Ingarden "Analiza matematyczna dla fizyków II", wyd. drugie, Toruń 2000
• M.Spivak "Analiza na rozmaitościach" PWN Warszawa, 1977