Element odwrotny

Element odwrotny jest uogólnieniem pojęcia odwrotności liczby.

Niech $\diamondsuit$ oznacza działanie dwuargumentowe w zbiorze $S$ . Element $x$ nazywa się elementem odwrotnym do $y$ jeżeli spełnione są dwa warunki:

$x \;\diamondsuit\; y = e$ ,
$y \;\diamondsuit\; x = e$ ,

gdzie $e$ oznacza element neutralny działania $\diamondsuit$ .

Jeżeli działanie $\diamondsuit$ zapisywane jest za pomocą symboli $+, \; \oplus, \; \cup, \; \or$ , itp. w celu zaznaczenia jego addytywności, to element odwrotny nazywamy przeciwnym i używamy oznaczenia $-x$ . Nazwa odwrotny używana jest w przypadku notacji multiplikatywnej, tj. gdy działanie oznaczamy symbolem zarezerwowanym dla mnożenia: $*, \; \cdot, \; \otimes, \; \cap, \; \and, \; \star$ , itp. i oznaczamy $x^{-1}$

[edytuj] Elementy jednostronne

Często rozważa się element odwrotny lewostronny do danego, gdy spełniony jest jedynie pierwszy warunek i element odwrotny prawostronny, jeżeli spełniony jest wyłącznie drugi warunek. "Zwykły" element odwrotny nazywa się wtedy elementem odwrotnym obustronnym.

Dany element może mieć wiele elementów odwrotnych prawostronnych i lewostronnych jednocześnie, i nie muszą one być sobie równe! Jeśli jednak działanie jest łączne i dany element ma element odwrotny lewostronny i element odwrotny prawostronny to, są one sobie równe i element ten jest elementem odwrotnym obustronnym. A więc jeśli istnieje, element odwrotny jest tylko jeden.

W większości ważnych praktycznie struktur algebraicznych jak grupy i ciała zwykle postuluje się, aby za pewnymi wyjątkami każdy element był odwracalny.

[edytuj] Przykłady

Niech $\diamondsuit$ będzie dodawaniem liczb rzeczywistych. Elementem odwrotnym do liczby $2$ jest liczba $-2$ . Mamy bowiem: $2+(-2)=0$ oraz $(-2)+2=0$ (zero jest elementem neutralnym dodawania).
Jeżeli $\diamondsuit$ jest mnożeniem liczb rzeczywistych, to elementem odwrotnym do liczby $2$ jest liczba $1 \over 2$ , bo $2 \cdot {1 \over 2} = {1 \over 2} \cdot 2 = 1$ (jedynka jest elementem neutralnym mnożenia).