Entropia (teoria informacji)

Entropia – w ramach teorii informacji jest definiowana jako średnia ilość informacji, przypadająca na znak symbolizujący zajście zdarzenia z pewnego zbioru. Zdarzenia w tym zbiorze mają przypisane prawdopodobieństwa wystąpienia.

Wzór na entropię:

$H(x)=\sum_{i=1}^np(i)\log_r \frac{1}{p(i)}= - \sum_{i=1}^np(i)\log_r {p(i)}\,\!$

gdzie p(i) – prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia i, a n – liczba wszystkich zdarzeń danej przestrzeni. W przypadku kodowania ciągu znaków jest to prawdopodobieństwo wystąpienia i-tego znaku. W teorii informacji najczęściej stosuje się logarytm o podstawie r=2, wówczas jednostką entropii jest bit. Dla r= e jednostka ta nazywa się nat (nit), natomiast dla r=10 – dit lub hartley.

W latach 60-tych węgierski matematyk Alfred Rényi uogólnił pojęcie entropii do zbioru funkcji za pomocą których można opisać ilościowo różnorodność, niepewność czy losowość systemu. Miara ta od jego nazwiska nazywana jest entropią Rényi.

Entropię można interpretować jako niepewność wystąpienia danego zdarzenia elementarnego w następnej chwili. Jeżeli zdarzenie występuje z prawdopodobieństwem równym 1, to jego entropia wynosi 0, gdyż z góry wiadomo, co się stanie – nie ma niepewności.

Własności entropii:

• jest nieujemna
• jest maksymalna, gdy prawdopodobieństwa zajść zdarzeń są takie same
• jest równa 0, gdy stany systemu przyjmują wartości tylko 0 albo tylko 1
• własność superpozycji – gdy dwa systemy są niezależne, to entropia sumy systemów równa się sumie entropii.
• jeśli ze źródła danych pobierane są k-literowe ciągi, wówczas entropia wynosi $H(x^{(k)}) = kH(x)$

Definicja informacyjna była pierwotnie próbą ujęcia tradycyjnego pojęcia entropii znanego z termodynamiki w kategoriach teorii informacji. Okazała się jednak, że definicja ta jest przydatna w ramach samej teorii informacji.

Pojęcie entropii jest bardzo przydatne w np. dziedzinie kompresji danych. Entropię zerowego rzędu można obliczyć znając histogram ciągu symboli. Jest to iloczyn entropii i liczby znaków w ciągu. Osiągi kodowania Huffmana są często zbliżone do tej granicy, jednak lepszą efektywnością charakteryzuje się kodowanie arytmetyczne.

Przyjęcie modelu, w którym uwzględnia się kontekst znaku, pozwala zwykle na bardzo duże obniżenie entropii.

Przykład

W przypadku, gdy prawdopodobieństwa poszczególnych zdarzeń w zbiorze są równe, powyższy wzór można stosować w postaci uproszczonej:

$H(x)=\log_2(n)$

gdzie n oznacza wielkość zbioru. Przykładowo dla zbioru 26 liter alfabetu (n=26) entropia każdej z nich wynosi około 4,7, więc ośmioznakowy ciąg liter wykorzystywany np. jako hasło będzie miał entropię 37,6.

Moneta, która wyrzuca z takim samym prawdopodobieństwem orły i reszki, ma 1 bit entropii na rzut:

$- p_{O} \log_2 p_{O} - p_{R} \log_2 p_{R} = - \frac 1 2 \log_2 \frac 1 2 - \frac 1 2 \log_2 \frac 1 2 = \frac 1 2 + \frac 1 2 = 1$

Jednakże, jeśli jeśli moneta z jakieś przyczyny daje zafałszowany wynik (statystycznie częściej daje albo orła albo reszkę z określonym prawdopodobieństwem) mamy do czynienia z sytuacja w której jest mniejsza niepewność (możemy łatwiej przewidzieć wynik). Objawia się to niższą entropią. Przykładowo, jeśli założymy, że z czterech rzutów wypadły 3 reszki to podstawiając do wzoru otrzymamy entropię równą 0.81. Idąc do ekstremum, przy czterech rzutach i 4 reszkach lub 4 orłach entropia osiąga minimum czyli 0, ponieważ nie ma niepewności (wiemy co wydarzy się w następnym rzucie). Oczywiście przedstawiony przykład jest skrajnie uproszczony i próba czterech rzutów jest za mała, aby wyciągać jakieś statystyczne wnioski, ale dobrze obrazuje problem.

Ogólniej każde źródło dające $N$ równie prawdopodobnych wyników ma $log_2 N$ bitów na symbol entropii:

$- \sum_{i=1}^N \frac 1 N \log_2 \frac 1 N = - N \frac 1 N \log_2 \frac 1 N = -\log_2 \frac 1 N = \log_2 N$

Ponadto inną miarą związaną z entropią Shannona jest entropia metryczna, która uwzględnia długość informacji (entropia dzielona jest przez długość wiadomości) i pozwala zmierzyć losowość informacji.

Zobacz też

• łańcuch Markowa

Linki zewnętrzne

• kalkulator entropii - jak obliczyć i interpretować entropię dowolnej wiadomości