Estymator regresyjny

Istota estymatora regresyjnego

Estymator regresyjny prosty i złożony to estymatory zgodne, ale obciążone. Obciążenie estymatora prostego maleje wraz ze wzrostem liczby ${n_h}$ losowań w warstwie. Natomiast w przypadku estymatora regresyjnego złożonego, obciążenie maleje wraz ze wzrostem liczebności próby. Przy próbie dużej (n>100) obciążenie estymatora jest nieistotne.

Estymatory regresyjne są estymatorami wysoce efektywnymi, ale także i pracochłonnymi. Z tego powodu estymatory te stosuje się najczęściej w przypadku badania 2 zmiennych. Gdy liczba zmiennych jest większa (3 i więcej), stosuje się częściej estymatory ilorazowe, które są prostsze w obliczeniach.

Estymator regresyjny prosty

Estymatorem regresyjnym prostym nazywamy znaną wartość średniej arytmetycznej zmiennej pomocniczej w każdej warstwie.

Wyraża się go wzorem:

$\overline{y}_{l(w)}=\sum\frac{N_h}{N}[\overline{y}+{b_h}\cdot(\overline{X}_h-\overline{x}_h)]$

gdzie:

${b_h}= \frac {{\sum}_i({x_h}_i-\overline{x}_h)\cdot({y_h}_i-\overline{y}_h)} {{\sum}_i({x_h}_i-\overline{x}_h)^2}$

$\overline{y}_h$- średnia z próby dla zmiennej Y pochodzącej z h-tej warstwy,

$\overline{x}_h$- średnia z próby dla zmiennej X pochodzącej z h-tej warstwy,

$\overline{X}_h$- średnia h-tej warstwy w populacji generalnej zmiennej dodatkowej X,

Estymator regresyjny złożony

Jeżeli nie jest znana średnia arytmetyczna zmiennej pomocniczej w każdej warstwie, a znana jest średnia arytmetyczna zmiennej pomocniczej w całej populacji,

wówczas zastosowanie znajduje estymator regresyjny złożony.

Wyraża się go wzorem:

$\overline{y'}_{l(w)}=\overline{y}_{(w)}+b\cdot(\overline{X}-\overline{x}_{(w)})$

gdzie:

${b_h}= \frac {{\sum_h}_i({x_h}_i-\overline{x}_h)\cdot({y_h}_i-\overline{y}_h)} {{\sum_h}_i({x_h}_i-\overline{x}_h)^2}$

$\overline{y}_{(w)}$- estymator prosty zmiennej podstawowej Y,

$\overline{x}_{(w)}$- estymator prosty zmiennej pomocniczej X,

Zobacz też

• regresja