Forma kwadratowa

Forma kwadratowa albo funkcjonał kwadratowy – w algebrze liniowej szczególna forma (funkcjonał) określona na danej przestrzeni liniowej (tzn. funkcja w ciało jej skalarów), mianowicie jednorodna stopnia 2 funkcja wielomianowa drugiego stopnia.

Formy kwadratowe są ściśle powiązane z formami dwuliniowymi danej przestrzeni – dowolna symetryczna forma dwuliniowa określa jednoznacznie formę kwadratową i odwrotnie: każda forma kwadratowa definiuje pewną symetryczną formę dwuliniową; przykładowo przestrzenie liniowe z wyróżnioną dodatnio określoną, symetryczną formą dwuliniową tworzą przestrzeń unitarną (tzn. przestrzeń liniową z wyróżnionym iloczynem skalarnym), odpowiadająca jej forma kwadratowa definiuje kwadrat normy indukowanej przez ten iloczyn skalarny, a więc służy wprowadzeniu pojęcia „długości” wektorów.

O ile nie zaznaczono inaczej, w artykule rozpatruje się przestrzenie liniowe nad ustalonym ciałem $\scriptstyle K$ charakterystyki różnej od 2.

Definicja

Niech $\scriptstyle V$ będzie przestrzenią liniową nad ciałem $\scriptstyle K.$ Przekształcenie $\scriptstyle Q\colon V \to K$ nazywa się formą kwadratową albo funkcjonałem kwadratowym na $\scriptstyle V,$ jeżeli:

• jest jednorodne stopnia 2,

  $Q(c\mathbf x) = c^2 Q(\mathbf x),$

• indukuje formę dwuliniową za pomocą tzw. wzoru polaryzacyjnego,

  $B(\mathbf x, \mathbf y) = \tfrac{1}{2}\bigl(Q(\mathbf x + \mathbf y) - Q(\mathbf x) - Q(\mathbf y)\bigr).$

Funkcję $\scriptstyle B$ w drugim z powyższych wzorów nazywa się formą dwuliniową odpowiadającą bądź stowarzyszoną z $\scriptstyle Q;$ jest ona symetryczna. Czynnik $\scriptstyle \frac{1}{2}$ jest powodem, dla którego wyklucza się ciała, w których $2 = 0;$ formy kwadratowe w ciałach charakterystyki 2 opisano w oddzielnej sekcji. Niech dalej $\scriptstyle V$ będzie przestrzenią liniową skończonego wymiaru $\scriptstyle n.$ Wówczas wybranie bazy przestrzeni prowadzi do przedstawienia $\scriptstyle Q$ w postaci jednorodnej, kwadratowej funkcji wielomianowej. Z drugiej strony dowolna jednorodna funkcja wielomianowa drugiego stopnia $\scriptstyle V \to K$ zadaje we współrzędnych pewnej bazy formę kwadratową na $\scriptstyle V$.

Formę kwadratową $\scriptstyle Q$ można wyrazić za pomocą odpowiadającej jej formy dwuliniowej $\scriptstyle B$ podstawiając $\scriptstyle \mathbf y = \mathbf x,$ tzn.

$B(\mathbf x, \mathbf x) = \tfrac{1}{2}\bigl(Q(2\mathbf x) - 2Q(\mathbf x)\bigr) = \tfrac{1}{2}\bigl(4Q(\mathbf x) - 2Q(\mathbf x)\bigr) = Q(\mathbf x),$

odwrotnie: każda symetryczna forma dwuliniowa $\scriptstyle B$ definiuje formę kwadratową $\scriptstyle Q$ na mocy powyższego wzoru, która jest stowarzyszona z $\scriptstyle B$. Istnieje wtedy (liniowa) bijekcja między formami kwadratowymi na $\scriptstyle V$ a symetrycznymi formami dwuliniowymi na tej przestrzeni. Formy kwadratowe nazywa się równoważnymi, jeśli równoważne są odpowiadające im formy dwuliniowe.

Przestrzeń $\scriptstyle (V, Q)$ nazywa się przestrzenią kwadratową. Przestrzenie $\scriptstyle (V_1, Q_1)$ i $\scriptstyle (V_2, Q_2)$ nazywa się izomorficznymi, jeżeli istnieje taki izomorfizm liniowy $\scriptstyle \mathrm A\colon V_1 \to V_2,$ że $\scriptstyle Q_2\displaystyle(\scriptstyle \mathrm A(\mathbf x)\displaystyle)\scriptstyle = Q_1(\mathbf x)$ dla wszystkich $\scriptstyle \mathbf x \in V_1.$ Ortogonalną sumą prostą $\scriptstyle V_1 \perp V_2$ przestrzeni $\scriptstyle (V_1, Q_1)$ i $\scriptstyle (V_2, Q_2)$ nazywa się sumę prostą przestrzeni $\scriptstyle V_1 \oplus V_2$ z formą kwadratową $\scriptstyle Q(\mathbf x_1, \mathbf x_2) = Q_1(\mathbf x_1) + Q_2(\mathbf x_2).$ Na oznaczenie $\scriptstyle n$-krotnej ortogonalnej sumy prostej przestrzeni kwadratowej $\scriptstyle V$ ze sobą będzie stosowany zapis $\scriptstyle V^{\perp n}.$ Wektorem izotropowym względem $\scriptstyle Q$ (bądź $\scriptstyle V$) nazywa się taki niezerowy wektor $\scriptstyle \mathbf x \in V,$ dla którego $\scriptstyle Q(\mathbf x) = 0.$ Innymi słowy jest to wektor będący nietrywialnym rozwiązaniem $\scriptstyle B(\mathbf x, \mathbf x) = 0,$ czyli niezerowy wektor ortogonalny sam do siebie.

Macierz formy

Wybierając bazę w $\scriptstyle V$ otrzymuje się kolejną (liniową) bijekcję form kwadratowych z macierzami symetrycznymi stopnia $\scriptstyle n.$ W ten sposób symetrycznej formie dwuliniowej $\scriptstyle B$ z działaniem $\scriptstyle \mathbf X \cdot \mathbf{MY}$ w notacji macierzowej, gdzie $\scriptstyle \mathbf M$ jest macierzą tej formy, odpowiada forma kwadratowa $\scriptstyle Q$ z działaniem $\scriptstyle \mathbf X \cdot \mathbf{MX}$ w notacji macierzowej z tą samą macierzą $\scriptstyle \mathbf M$ nazywaną macierzą formy kwadratowej (macierzą funkcjonału kwadratowego) względem ustalonej bazy. Zmiana bazy przekształca macierz $\scriptstyle \mathbf M$ w macierz $\scriptstyle \mathbf C^\mathrm T \mathbf{MC},$ gdzie $\scriptstyle \mathbf C$ jest macierzą zamiany bazy (pewnej macierzy odwracalnej); innymi słowy macierze danej formy kwadratowej (wyrażone w dowolnych bazach) są przystające.

Wyróżnikiem formy kwadratowej $\scriptstyle Q$ nazywa się $\scriptstyle \Delta_Q = \det \mathbf M$ modulo niezerowe kwadraty, gdzie $\scriptstyle \mathbf M$ jest macierzą tej formy. Forma kwadratowa jest niezdegenerowana lub nieosobliwa, gdy jej (symetryczna) macierz jest odwracalna, tzn. ma niezerowy wyróżnik.

Diagonalizacja

Forma kwadratowa $\scriptstyle Q$ jest w postaci diagonalnej, jeśli dana jest jako suma kwadratów; równoważnie: jej reprezentacja macierzowa jest diagonalna (wszystkie wyrazy poza główną przekątną są równe zeru).

Twierdzenie Lagrange'a 

Istnieje baza, w której dana forma kwadratowa $\scriptstyle Q$ ma postać diagonalną, tzn. $\scriptstyle Q\left(\sum_{i = 1}^n x_i \mathbf e_i\right) = \sum_{i = 1}^n a_i x_i^2,$ a jej wyróżnik w tej bazie wynosi $\scriptstyle a_1 \dots a_n \bmod (K^*)^2$.

Konstrukcję bazy ortogonalnej można przeprowadzić w oparciu o własności odpowiadającej formy dwuliniowej: należy rozpocząć od wyboru dowolnego wektora $\scriptstyle \mathbf e_1,$ dla którego $\scriptstyle Q(\mathbf e_1) \ne 0,$ następnie wybrać z podprzestrzeni $\scriptstyle \mathbf e_1^\perp$ taki wektor $\scriptstyle \mathbf e_2,$ że $\scriptstyle Q(\mathbf e_2) \ne 0;$ wektory $\scriptstyle \mathbf e_1$ i $\scriptstyle \mathbf e_2$ są ortogonalne i liniowo niezależne; następnie należy przejść do $\scriptstyle \mathbf e_1^\perp \cap \mathbf e_2^\perp$ i wskazać w niej wektor $\scriptstyle \mathbf e_3,$ że $\scriptstyle Q(\mathbf e_3) \ne 0$ itd. Proces kończy się na podprzestrzeni, na której $\scriptstyle Q$ zeruje się tożsamościowo: jeśli jest to podprzestrzeń zerowa, to wybrane wektory tworzą bazę, w której $\scriptstyle Q$ ma postać diagonalną; w przeciwnym wypadku bazę diagonalizującą $\scriptstyle Q$ na całej przestrzeni tworzą wybrane wektory oraz dowolna baza otrzymanej podprzestrzeni.

Następujące stwierdzenie charakteryzuje formy kwadratowe wprowadzające liczby podwójne. Dla formy kwadratowej $\scriptstyle Q$ określonej na przestrzeni dwuwymiarowej następujące warunki są równoważne: (a) ma ona postać $\scriptstyle x^2 - y^2$ w pewnej bazie; (b) jej wyróżnik jest równy $\scriptstyle -1;$ (c) jest ona niezdegenerowana i daje wektory izotropowe.

Klasyfikacja

W tej sekcji $\scriptstyle Q$ będzie niezdegenerowana, zaś $\scriptstyle K$ oznaczać będzie liczby rzeczywiste $\scriptstyle \mathbb R,$ liczby zespolone $\scriptstyle \mathbb C$ lub dowolne ciało skończone $\scriptstyle \mathbb F$ nieparzystej charakterystyki.

Sygnatura

Twierdzenie 

Każda forma kwadratowa na $\scriptstyle \mathbb C^n$ jest równoważna z $\scriptstyle \mathbf x_1^2 + \dots + \mathbf x_n^2$ (jest diagonalizowalna), dowolna forma kwadratowa na $\scriptstyle \mathbb R^n$ jest równoważna z $\scriptstyle \mathbf x_1^2 + \dots + \mathbf x_p^2 - \mathbf x_{p + 1}^2 - \dots - \mathbf x_n^2$ dla pewnego jednoznacznie wyznaczonego $\scriptstyle p \in [0, n].$

Innymi słowy formy kwadratowe wprowadzają na $\scriptstyle \mathbb R^n$ geometrie pseudoeuklidesowe $\scriptstyle \mathbb R^{p,q}$ (w szczególnym przypadku: euklidesową), gdzie $\scriptstyle n = p + q.$ Jeśli $\scriptstyle p + q = p' + q',$ to $\scriptstyle \langle \cdot, \cdot \rangle_{p, q}$ i $\scriptstyle \langle \cdot, \cdot \rangle_{p', q'}$ są równoważne wtedy i tylko wtedy, gdy $\scriptstyle p = p'$ i $\scriptstyle q = q'.$ Zatem forma kwadratowa na $\scriptstyle \mathbb R^n$ jest wyznaczona jednoznacznie z dokładnością do równoważności przez parę $\scriptstyle (p, q),$ którą można uzyskać z diagonalizacji: $\scriptstyle p$ jest liczbą znaków dodatnich, a $\scriptstyle q = n - p$ to liczba znaków ujemnych – parę tę nazywa się sygnaturą formy kwadratowej (niektórzy sygnaturą nazywają liczbę $\scriptstyle p,$ gdyż jest ona jednoznacznie wyznaczona przy danym $\scriptstyle n$).

Określoność

Formę kwadratową $\scriptstyle Q$ na przestrzeni liniowej nad $\scriptstyle \mathbb R$ nazywa się dodatnio określoną (lub dodatnią), jeżeli $\scriptstyle Q(\mathbf x) > 0$ i ujemnie określoną (lub ujemną), gdy $\scriptstyle Q(\mathbf x) < 0$ dla wszystkich $\scriptstyle \mathbf x \ne \mathbf 0$ Wszystkie dodatnio określone formy na przestrzeni wymiaru $\scriptstyle n$ są równoważne sumie $\scriptstyle n$ kwadratów, a co za tym idzie są sobie równoważne; podobnie ma się rzecz z formami określonymi ujemnie. Własności te (w przeciwieństwie do przedstawienia w postaci sumy kwadratów) nie zależą od wyboru współrzędnych.

Uniwersalność

Jeśli $\scriptstyle Q$ jest określona na przestrzeni $\scriptstyle V$ co najmniej trójwymiarowej nad ciałem skończonym $\scriptstyle K,$ to daje ona wektory izotropowe. W ciele dowolnej charakterystyki pociąga to uniwersalność formy $\scriptstyle Q,$ tzn. $\scriptstyle Q(V) = K$. Choć stwierdzenie o istnieniu wektorów izotropowych w dowolnych przestrzeniach wymiaru 2 nie jest prawdziwe, to prawdą jest, iż dowolna forma na przestrzeni dwuwymiarowej nad ciałem skończonym jest uniwersalna.

Twierdzenie 

Niech $\scriptstyle c \in K^*$ będzie niekwadratem. Dowolna forma kwadratowa na przestrzeni liniowej wymiaru $\scriptstyle n \geqslant 1$ nad ciałem skończonym $\scriptstyle K$ jest równoważna z dokładnie jedną formą na $\scriptstyle K^n,$ mianowicie $\scriptstyle x_1^2 + \dots + x_n^2$ lub $\scriptstyle x_1^2 + \dots + x_{n - 1}^2 + cx_n^2.$ W szczególności wymiar i wyróżnik wyznaczają formę nad ciałem skończonym w sposób jednoznaczny z dokładnością do równoważności.

Reguła równoległoboku

Dla dowolnej formy kwadratowej $\scriptstyle Q$ zachodzi wzór

$Q(\mathbf x + \mathbf y) + Q(\mathbf x - \mathbf y) = 2\bigl(Q(\mathbf x) + Q(\mathbf y)\bigr)$

nazywany regułą równoległoboku. Podobny wzór

$Q(\mathbf x + \mathbf y) - Q(\mathbf x - \mathbf y) = 4B(\mathbf x, \mathbf y).$

wyraża formę dwuliniową $\scriptstyle B$ za pomocą formy kwadratowej $\scriptstyle Q,$ jednak w inny sposób niż podany w definicji. Być może oba powyższe wzory mogą posłużyć do zdefiniowania formy kwadratowej? Zagadnieniem tym zajęli się John von Neumann i Pascual Jordan, którzy dowiedli

Twierdzenie 

Niech $\scriptstyle Q\colon V \to K$ spełnia $\scriptstyle Q(\mathbf x + \mathbf y) + Q(\mathbf x - \mathbf y) = 2Q(\mathbf x) + 2Q(\mathbf y),$ zaś $\scriptstyle B\colon V \times V \to K$ będzie określona wzorem $\scriptstyle 4B(\mathbf x, \mathbf y) = Q(\mathbf x + \mathbf y) - Q(\mathbf x - \mathbf y).$ Wówczas $\scriptstyle B$ jest symetryczna, dwuaddytywna i zachodzi $\scriptstyle B(\mathbf x, \mathbf x) = Q(\mathbf x).$

Dwuaddytywność pociąga $\scriptstyle \mathbb Z$-dwuliniowość. Stąd $\scriptstyle B$ z powyższego twierdzenia jest $\scriptstyle \mathbb Q$-dwuliniowa, jeśli $\scriptstyle K$ jest charakterystyki zero lub $\scriptstyle \mathbb F$-dwuliniowa, jeśli $\scriptstyle K$ jest charakterystyki $\scriptstyle p.$ Oznacza to, że jeśli $\scriptstyle K = \mathbb Q$ lub $\scriptstyle \mathbb F,$ to forma $\scriptstyle Q$ jest kwadratowa. Jeżeli $\scriptstyle K = \mathbb R,$ to forma $\scriptstyle Q$ jest kwadratowa, o ile $\scriptstyle V$ jest skończonego wymiaru, przy dodatkowym założeniu, że $\scriptstyle Q$ jest ciągła (co pociąga ciągłość $\scriptstyle B,$ a stąd jej $\scriptstyle \mathbb R$-dwuliniowość).

Ciała charakterystyki 2

O ile nie zaznaczono inaczej, niżej przestrzenie liniowe określone są nad ustalonym ciałem $\scriptstyle K$ charakterystyki 2.

Niech $\scriptstyle V$ będzie przestrzenią liniową. Przekształcenie $\scriptstyle Q\colon V \to K$ nazywa się formą kwadratową albo funkcjonałem kwadratowym na $\scriptstyle V,$ jeżeli:

• jest jednorodne stopnia 2,

  $Q(c\mathbf x) = c^2 Q(\mathbf x),$

• następująca funkcja jest dwuliniowa:

  $B(\mathbf x, \mathbf y) = Q(\mathbf x + \mathbf y) - Q(\mathbf x) - Q(\mathbf y).$

Definicja we współrzędnych nie ulega zmianie: forma kwadratowa to jednorodna, kwadratowa funkcja wielomianowa. Podobnie definiuje się pozostałe pojęcia i dowodzi równoważności definicji abstrakcyjnej i z ustaloną bazą. Zasadniczą różnicą jest postać macierzowa: macierz $\scriptstyle \mathbf N$ formy kwadratowej $\scriptstyle Q$ jest górnotrójkątna, nie zaś symetryczna; macierz $\scriptstyle \mathbf N + \mathbf N^\mathrm T$ odpowiadającej jej formy dwuliniowej $\scriptstyle B$ jest z kolei symetryczna z zerami na przekątnej głównej. Niekiedy powyższą definicję stosuje się dla ciał dowolnej charakterystyki, jednak przyjęcie jej sprawia, iż forma dwuliniowa związana z formą kwadratową wyrażającą się sumą kwadratów nie daje standardowego iloczynu skalarnego, lecz jego dwukrotność.

Ta sekcja jest niekompletna. Jeśli możesz, rozbuduj ją.

Bibliografia

• Więsław, Witold: Algebra geometryczna. Skrypt dla studentów matematyki. Wydawnictwa Uniwersytetu Wrocławskiego, Wrocław 1974
• Komorowski, Jacek: Od liczb zespolonych do tensorów, spinorów, algebr Liego i kwadryk, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1978.
• Gleichgewicht, Bolesław: Algebra. Podręcznik dla kierunków nauczycielskich studiów matematycznych, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1983. Wydanie III. ISBN 83-01-03903-5
• Newelski, Ludomir: Algebra liniowa II, Rozdział 14. W przygotowaniu.

Zobacz też

• forma półtoraliniowa
• forma hermitowska