Forma różniczkowa

Forma różniczkowa (krótko k-forma) – rodzaj funkcji związanej z rachunkiem różniczkowym i całkowym na rozmaitościach. Podstawą rachunku form różniczkowych jest tzw. lemat Poincarego. Rachunek form różniczkowych jest często wykorzystywany w fizyce do całkowania takich pojęć jak praca, strumień pola (magnetycznego, grawitacyjnego itp.) przechodzącego przez powierzchnię, potencjały pól itp. Pojęcie formy różniczkowej formalizuje te operacje z matematycznego punktu widzenia.

W dalszej części artykułu niech k będzie ustaloną liczbą naturalną (wymiarem przestrzeni dla której definiowane będą formy) oraz niech P będzie ustalonym domkniętym (zwartym) przedziałem wielowymiarowym w przestrzeni $\mathbb{R}^k$.

Definicja

k-płatem klasy C_r (ang. singular cube of k dimensions) w zbiorze $\Omega\subseteq \mathbb{R}^k$ nazywa się funkcję różniczkowalną $s_k\colon P\to \Omega$ klasy C_r, r ≥ 0. W przypadku, gdy k=0, to za $s_k$ przyjmuje się punkt w zbiorze $\Omega$. Wygodnie jest dokonywać utożsamienia $s_k=(P, \Phi)$, tzn. traktować $s_k$ jako parę złożoną ze zbioru argumentów P oraz odwzorowania $\Phi$ klasy C_r pewnego otoczenia otwartego zbioru P (utożsamienie to nawiązuje to do procesu parametryzacji krzywej na płaszczyźnie czy w przestrzeni).

Niech n ≥ k będzie liczbą naturalną oraz $a_{i_1, \ldots, i_k}$ będą funkcjami klasy $C^p$ zmiennej $x\in \mathbb{R}^n$. W przypadku, gdy $k=0$ zdefinujmy

$\omega=a_0(x)$.

Ponadto, niech $s_k=(P, \Phi)$ będzie k-płatem w $\Omega\subseteq \mathbb{R}^n$. Formą różniczkową (rzędu k albo k-formą) postaci

$\omega=\sum_{i_1=1}^n \cdots \sum_{i_k=1}^n a_{i_1, \ldots, i_k}(x)dx_{i_1}\wedge dx_{i_2}\wedge \ldots \wedge dx_{i_k}$

nazywa się funkcję $\omega$, która płatowi $s_k$ przyporządkowuje liczbę

$\langle s_k, \omega \rangle= \sum_{i_1=1}^n \cdots \sum_{i_k=1}^n \int\limits_P a_{i_1, \ldots, i_k}(\Phi(t))\cdot \det \left[ \frac{\partial x_{i_p}}{\partial t^m}\right]_{p,m=1,\ldots, k} \lambda^k(dt)$,

gdzie $\lambda^k$ oznacza miarę Lebesgue'a w przestrzeni $\mathbb{R}^k$ oraz $t=(t_1, \ldots, t_k)$. Oznaczając krótko $I=(i_1, \ldots, i_k)$, gdzie 0 ≤ i_m ≤ n oraz $dx_I := dx_{i_1} \wedge \ldots \wedge dx_{i_k}$, formy różniczkowe można zapisywać krótko w postaci

$\omega = \sum_I a_I(x)\,dx_I\,$.

Liczbę $\langle s_k, \omega \rangle$ oznacza się krótko symbolem

$\int\limits_\Phi \omega$

i nazywa całką z formy $\omega$ względem $\Psi$. W przypadku, gdy k=1 całkę tę nazywa się po prostu całką krzywoliniową. Formy różniczkowe są funkcjami w zbiorze płatów, a więc można punktowo wprowadzić działania dodawania i mnożenia przez skalar form różniczkowych; innymi słowy rodzina form różniczkowych (przy ustalonych k i n) tworzy przestrzeń liniową.

Przykład

Niech $\gamma$ będzie taką krzywą klasy C₁ na płaszczyźnie, że

$\gamma=\{(\gamma_1(t), \gamma_2(t))\colon\, 0\leqslant t \leqslant 1\}$

oraz niech dana będzie forma $\omega=xdy+ydx$. Wówczas

$\int\limits_\gamma \omega = \int_0^1 [\gamma_1(t)\gamma_2^\prime(t)+\gamma_2(t)\gamma_1^\prime(t)]dt=\gamma_1(1)\gamma_2(1)-\gamma_1(0)\gamma_2(0)$.

Wartość całki krzywoliniowej w powyższym przypadku nie zależy od kształtu krzywej, a jedynie od jej punktów końcowych. W szczególności, całka po krzywej zamkniętej zeruje się.

Podstawowe własności

• Wyrażenie $dx_{i_1} \wedge \ldots \wedge dx_{i_k}$ zmienia znak na przeciwny przy zamianie sąsiednich symboli $dx_{i_m}$ i $dx_{i_{m+1}}$.
• Każdą formę różniczkową można sprowadzić do postaci kanonicznej, tzn. takiej postaci, że funkcje $a_{i_1, \ldots, i_k}$ są, być może, różne od zera tylko dla $i_1<i_2<\ldots < i_k$. Bezpośrednią konsekwencją tego faktu jest warunek równości dwu form - dwie formy różniczkowe są równe wtedy i tylko wtedy, gdy odpowiednie współczynniki w ich postaciach kanonicznych są równe. Ponadto, dla $k>n$ każda forma $\omega$ postaci jak wyżej jest równa zeru.

Iloczyn zewnętrzny form. Algebra Zewnętrzna

Jeżeli $\omega$ i $\eta$ są, odpowiednio, k- i m-formami postaci

$\omega=\sum_I a_I dx_I,\, \eta=\sum_J b_J dx_J$,

to można wprowadzić tzw. iloczyn zewnętrzny form $\omega$ i $\eta$, tzn. (k+m)-formę $\omega \wedge \eta$ daną wzorem

$\omega \wedge \eta=\sum_{I,J}a_{i_1, \ldots, i_k}b_{j_1, \ldots, j_m}dx_{i_1}\wedge \ldots \wedge dx_{i_k}\wedge dx_{j_1}\wedge \ldots \wedge dx_{j_m}$.

Iloczyn zewnętrzny ma następujące własności:

• $(\omega_1 \wedge \omega_2) \wedge \omega_3 = \omega_1 \wedge (\omega_2 \wedge \omega_3)$,
• $(\omega_1 + \omega_2) \wedge \omega_3 = \omega_1 \wedge \omega_3 + \omega_2 \wedge \omega_3$,
• Jeżeli $\omega_1$ jest k-formą, $\omega_2$ jest m-formą, to

$\omega_1 \wedge \omega_2 = (-1)^{km}(\omega_2 \wedge \omega_1)$.

Niech symbol $\upsilon_k(\Omega)$ oznacza zbiór wszystkich k-form na $\Omega$ klasy C^∞ oraz

$\upsilon(\Omega)=\bigcup_{k=0}^n \upsilon_k(\Omega)$.

Oczywiście $\upsilon_k(\Omega)=\{0\}$ dla $k>n$. $\upsilon(\Omega)$ jest domkniętny na dodawanie i mnożenie przez skalary (tworzy przestrzeń liniową wymiaru $2^n$). Ponadto, jest on domknięty na operację iloczynu zewnętrznego form wraz z którym tworzy algebrę, nazywaną algebrą zewnętrzną.

Różniczka zewnętrzna formy

Jeżeli $\omega$ jest 0-formą klasy C^∞ na $\Omega$, tzn. $\omega=a$, gdzie $a$ jest funkcją klasy C^∞ na $\Omega$, to jej różniczką zewnętrzną (nazywaną również różniczką zupełną) nazywa się 1-formę postaci

$d\omega(x)=\sum_{i=1}^n\frac{\partial a(x)}{\partial x_i}dx_i$.

Jeżeli natomiast $\omega$ jest k-formą (k>0) postaci

$\omega=\sum_I a_I dx_I\,$,

to jej różniczką zewnętrzną nazywa się (k+1)-formę postaci

$d\omega=\sum_I(da_I)\wedge dx_I.$.

Na mocy powyższego, operator różniczkowania zewnętrznego form jest odwzorowaniem $d\colon \upsilon_k(\Omega)\to \upsilon_{k+1}(\Omega)$. Operacja ta ma ponadto, następujące własności:

• jeżeli $\omega$ jest k-formą, $\eta$ jest l-formą, to

$d(\omega \wedge \eta)=d\omega \wedge \eta + (-1)^k\omega \wedge d\eta$,

• jeżeli $\omega\in \upsilon(\Omega)$, to $d^2\omega = d(d\omega)=0\,$.

Bibliografia

• Krzysztof Maurin: Analiza – Część I – Elementy. Warszawa: PWN, 1976, s. 424-431. 
• Walter Rudin: Podstawy analizy matematycznej. Warszawa: PWN, 1998, s. 213-229. ISBN 83-01-02846-7.