Funkcja Möbiusa

Funkcja Möbiusa – funkcja określona przez Augusta Ferdynanda Möbiusa w 1831 r. i zdefiniowana w następujący sposób:

• μ (1) = 1
• μ (n) = 0 jeśli liczba n jest podzielna przez kwadrat liczby pierwszej;
• μ (n) = (-1)^k jeśli liczba n jest iloczynem k różnych liczb pierwszych;

Wartości funkcji Möbiusa dla małych n:

n	μ(n)
1	1
2	-1
3	-1
4	0
5	-1
6	1
7	-1
8	0
9	0
10	1

Jak łatwo zauważyć, gdy n jest liczbą pierwszą, wartość funkcji wynosi -1.

Dla n > 1 zachodzi równość:

$\sum_{d|n} \mu(d) = 0\,$

gdzie sumowanie rozciąga się na wszystkie naturalne dzielniki liczby $n$ włącznie z 1 i $n$.

Oto sekwencje liczb odpowiadające konkretnym wartościom funkcji Moebiusa:

$\mu(n)$ = -1	2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 30, 31, ...
$\mu(n)$ = 0	4, 8, 9, 12, 16, 18, 20, 24, 25, 27, 28, 32, ...
$\mu(n)$ = 1	1, 6, 10, 14, 15, 21, 22, 26, 33, 34, 35, ...

Wykres funkcji Möbiusa dla $n \leqslant 50$:

Funkcja Möbiusa jest funkcją multiplikatywną co oznacza iż

• $\mu(a) \cdot \mu(b) = \mu(ab)$

jeśli a i b są liczbami względnie pierwszymi. Istnieje także pojęcie funkcji całkowicie multiplikatywnej gdzie nie jest wymagany warunek względnej pierwszości, funkcji Möbiusa nie można jednak zaklasyfikować w ten sposób.

Związek z funkcjami trygonometrycznymi

Spójrzmy na ciąg ułamków

$\frac{1}{42}, \qquad \frac{2}{42}, \qquad \frac{3}{42}, \qquad \dots\dots, \qquad \frac{39}{42}, \qquad \frac{40}{42}, \qquad \frac{41}{42}.$

Wybierzmy z niego tylko ułamki, których NWD licznika i mianownika jest równe 1:

$\frac{1}{42}, \qquad \frac{5}{42}, \qquad \frac{11}{42}, \qquad \dots, \qquad \frac{31}{42}, \qquad \frac{37}{42}, \qquad \frac{41}{42}.$

Utwórzmy sumę:

$\cos\left(2\pi\cdot\frac{1}{42}\right)+ \cos\left(2\pi\cdot\frac{5}{42}\right)+ \cdots+ \cos\left(2\pi\cdot\frac{37}{42}\right)+ \cos\left(2\pi\cdot\frac{41}{42}\right)$

Jej wartość jest równa −1. Wynika to z faktu, że 42 ma nieparzystą liczbę dzielników pierwszych i jest liczbą bezkwadratową: 42 = 2 × 3 × 7. (Jeżeli liczba bezkwadratowa miałaby parzystą liczbę dzielników pierwszych wówczas suma równałaby się 1; jeżeli liczba byłaby podzielna przez kwadrat liczby całkowitej wówczas suma wynosiłaby 0; suma jest równa wartości funkcji Möbiusa dla 42.) Ogólnie

$\sum_{1\leqslant x< n, \operatorname{NWD} (x,n)=1} \cos \left(2\pi\cdot\frac{x}{n}\right)=\mu(n)$