Funkcja W Lamberta

Wykres funkcji W₀(x).

z = Re(W₀(x + i y)) (część rzeczywista funkcji)

z = Im(W₀(x + i y)) (część urojona funkcji)

moduł funkcji z = W₀(x + i y)

Funkcja W Lamberta lub funkcja Omega – funkcja specjalna używana podczas rozwiązywania równań zawierających niewiadomą zarówno w podstawie jak i wykładniku potęgi. Określona jest jako funkcja odwrotna do $f(z)=ze^z\;$, gdzie z należy do zbioru liczb zespolonych. Oznacza się ją symbolem $W(z)\;$. Zatem dla każdej liczby zespolonej z zachodzi:

$z=W(z)e^{W(z)}\;$

Ponieważ funkcja f nie jest iniekcją, zatem W(z) musi być odwzorowaniem wielowartościowym. Tworzy się zatem rodzinę funkcji $W_k(z)$ gdzie $k\in\mathbb Z$ oznacza numer gałęzi. Dla k=0 przyjmuje się gałąź W₀(z) opisaną poniżej, rozszerzoną na wszystkie liczby zespolone. Ze wzrostem k rośnie też część urojona funkcji W_k(z).

Jeśli założymy, że x oraz W(x) mają być rzeczywiste, wtedy odwzorowanie istnieje jedynie dla x ≥ −1/e, a na odcinku (−1/e,0) jest dwuwartościowe. Jeśli dodatkowo założymy, że W(x) ≥ −1, otrzymamy funkcję W₀(x), przedstawioną na wykresie obok. Alternatywna gałąź, oznaczana W₋₁(x) to funkcja malejąca od −1 (dla x = −1/e) do −∞ (dla x = 0⁻).

Własności funkcji W(z)

Równanie $x^x = z$ ma rozwiązanie:

$x = \frac{\ln(z)}{W(\ln z)} = \exp W(\ln(z))$

Pierwotną funkcji $W$ można znaleźć całkując przez podstawienie: jeżeli $w = W(x)$, to $x = w e^w$, wówczas:

$\int W(x)\ dx = x\left(W(x) - 1 + \tfrac{1}{W(x)}\right) + C$

Pochodna funkcji W wynosi:

${dW(z)\over dz}={W(z)\over z(1 + W(z))}\quad\mathrm{dla\ }z\neq-{1\over e}$

Zastosowanie

Funkcja W znajduje zastosowanie w kombinatoryce i przy rozwiązywaniu trudnych równań różniczkowych. Wiele równań zawierających niewiadomą w potędze może być rozwiązane za pomocą tej funkcji. Najczęściej problem polega wtedy na sprowadzeniu równania do formy Y = Xe^X, przez co automatycznie otrzymuje się rozwiązanie:

$Y=Xe^X\;\Longleftrightarrow\; X=W(Y)$

Przykład 1

$2^t=5t\;$

$\Rightarrow t=\log_2(5t)$

$\Rightarrow t={\ln(5t)\over\ln2}$

$\Rightarrow t\ln2=\ln(5t)$

$\Rightarrow5t=e^{t\ln2}$

$\Rightarrow{1\over5t}=e^{-t\ln2}$

$\Rightarrow\underbrace{-\tfrac{\ln2}{5}}_Y=\underbrace{-t\ln2}_Xe^{\overbrace{-t\ln2}^X}$

$\Rightarrow\underbrace{-t\ln2}_X=W\left(\underbrace{-\tfrac{\ln2}{5}}_Y\right)$

$\Rightarrow t=-{W\left(-{\ln2\over5}\right)\over\ln2}$

Przykład 2

Jeśli wartość $z^{z^{z^{\cdots}}}$ jest skończona można ją obliczyć w następujący sposób:

$c=z^{z^{z^{\cdots}}}$

$\Rightarrow c=z^c$

Używając rozumowania przestawionego powyżej otrzymujemy:

$c=-{W\left(-\ln z\right)\over\ln z}$

Przykład 3

Równanie różniczkowe:

$y'(t)=ay(t-1)\;$

ma równanie charakterystyczne λ = ae^−λ, czyli λ = W_k(a), gdzie k to numer gałęzi (jeśli a jest rzeczywiste, wtedy wystarczy uwzględnić gałąź W₀(a) ). Rozwiązanie wynosi zatem:

$y(t)=e^{W_k(a)\,t}\;$

Ważne wartości

$W_0(-\tfrac{\pi}{2})$	$=\tfrac{\pi}{2}i$
$W_0(-1)\;$	$\approx-0,31813-1,33723i$
$W_0(-\tfrac{1}{e})$	$=-1\;$
$W_0(-\tfrac{\ln2}{2})$	$=-\ln 2\;$
$W_0(0)\;$	$=0\;$
$W_0(e)\;$	$=1\;$
$W_0(1)\;$	$=\Omega\approx0,56714329$ (stała Omega)