Funkcja Weierstrassa

Wykres funkcji Weisstrassa w przedziale [−2, 2]

Funkcja Weierstrassa - pierwszy opublikowany przykład rzeczywistej funkcji ciągłej, nieróżniczkowalnej w żadnym punkcie. Nazwa pochodzi od nazwiska odkrywcy, Karla Weierstraßa.

Tło historyczne

Wielu matematyków przełomu XVIII i XIX wieku uważało, iż wszystkie funkcje ciągłe są różniczkowalne w znaczącym podzbiorze swojej dziedziny. Francuski fizyk, André Marie Ampère, starał się nawet uzasadnić to przekonanie. Sam Weierstraß przyznał, że słyszał od uczniów Riemanna, że ich nauczyciel sugerował istnienie kontrprzykładu na to przekonanie.

Prawdopodobnie, w roku 1830, Bernard Bolzano podał przykład rzeczywistej funkcji ciągłej, nieróżniczkowalnej w żadnym punkcie dziedziny, lecz swojego wyniku nie opublikował. W 1860 roku, szwajcarski matematyk, Charles Cellérier podał przykład zbliżony do pomysłu Weierstraßa.

Konstrukcja funkcji Weierstrassa

W oryginalnej publikacji, funkcja Weierstraßa zdefiniowana jest jako

$f(x)=\sum_{n=0}^\infty a^n\cos(b^n\pi x)$,

gdzie $a$ jest pewną liczbą z przedziału $(0,1)$ natomiast $b$ jest liczbą nieparzystą, spełniającą warunek $ab>1+\tfrac{3}{2}\pi$.

Wykres funkcji Weierstrassa

Gdy $ab>1$, to wykres funkcji Weierstrassa jest fraktalem oraz jego wymiar Minkowskiego wynosi

$2+\frac{\log a}{\log b}$.

Istnieje nierozwiązana hipoteza mówiąca, że (pod założeniem $ab>1$) wymiar Hausdorffa wykresu funkcji Weierstrassa jest równy jego wymiarowi Minkowskiego.

Bibliografia

1. O wymiarze wykresu funkcji nigdzie nieróżniczkowalnej. „Wiadomości Matematyczne”. Tom 42 (2006), 2006. T. Szarek. Poznań: Polskie Towarzystwo Matematyczne.  [1]