Funkcja addytywna

Funkcja addytywna – funkcja która jest homomorfizmem struktury addytywnej rozważanych obiektów (pierścieni, ciał czy też przestrzeni liniowych). W teorii liczb jednak rozważa się całkowicie inną własność funkcji określaną tym samym terminem.

Definicje

Addytywność w algebrze i analizie

Niech $(K,+)\,$ oraz $(L,+)\,$ będą grupami abelowymi.

• Powiemy, że funkcja $f:K\longrightarrow L\,$ jest addytywna jeśli

$f(x+y)=f(x)+f(y)\,$ dla wszystkich $x,y\in K\,$.

O addytywnych funkcjach rzeczywistych $f:{\mathbb R}\longrightarrow {\mathbb R}\,$ mówimy też, że spełniają równanie funkcyjne Cauchy'ego.

• Jeśli grupa $(L,+)\,$ jest grupą liniowo uporządkowaną przez relację $\leqslant\,$ to funkcję $f:K\longrightarrow L\,$ nazwiemy podaddytywną jeśli

$f(x+y)\leqslant f(x)+f(y)\,$ dla wszystkich $x,y\in K\,$.

Powyższe pojęcie jest rozważane głównie gdy $(L,+)\,$ jest grupą addytywną liczb rzeczywistych (z naturalnym porządkiem).

Addytywność w teorii liczb

Teoria liczb posiada własną definicją addytywności. Funkcja $f: \mathbb N \to \mathbb N$ jest funkcją addytywną, gdy dla wszystkich względnie pierwszych liczb $m, n \in \mathbb N$ zachodzi

$f(mn) = f(m) + f(n)\,$.

Jeżeli powyższy związek zachodzi dla dowolnych liczb $m\,$ oraz $n\,$, to funkcję nazywa się całkowicie addytywną.

Własności

Poniżej, mówiąc o funkcjach addytywnych myślimy o addytywności w sensie homomorfizmów grup addytywnych.

• Z zasady indukcji matematycznej można wnioskować, iż dla każdej addytywnej funkcji $f:K\longrightarrow L$ zachodzi

$f\left(\sum_{i=1}^n~x_i\right) = \sum_{i=1}^n f(x_i)$ dla wszystkich $x_1, \ldots, x_n \in K$, $n \in {\mathbb N}$.

Stąd też, powyższą własność nazywa się skończoną addytywnością, a funkcje addytywne nazywamy też funkcjami skończenie addytywnymi.

• Załóżmy, że funkcja addytywna $f:{\mathbb R}\longrightarrow {\mathbb R}$ spełnia jeden z następujących warunków:

(a) $f\,$ jest ciągła w przynajmniej jednym punkcie, lub

(b) $f\,$ jest monotoniczna na pewnym przedziale, lub

(c) $f\,$ jest ograniczona na pewnym przedziale.

Wówczas $f(x)=f(1)\cdot x$ dla wszystkich $x\in {\mathbb R}$ (to znaczy, $f\,$ jest funkcją jednorodną).

Pierwszy wynik powyższej postaci był uzyskany przez Augustina Cauchy'ego.

• W 1905, Georg Hamel udowodnił, że jeśli założymy AC, to istnieją funkcje addytywne $f:{\mathbb R}\longrightarrow {\mathbb R}$ które nie są ciągłe.

Zobacz też

• funkcja multiplikatywna
• twierdzenie Hahna-Banacha