Funkcja błędu

Wykres funkcji błędu

Wykres funkcji błędu (2)

Funkcja błędu Gaussa — funkcja nieelementarna, która występuje w rachunku prawdopodobieństwa, statystyce oraz w teorii równań różniczkowych cząstkowych. Jest zdefiniowana jako

$\text{erf}\left(x\right)={2\over\sqrt{\pi}}\int_0^xe^{-t^2}dt$

Funkcja $\text{erf}$ jest ściśle związana z uzupełniającą funkcją błędu $\text{erfc}$:

$\text{erfc}\left(x\right)$	$\equiv1-\text{erf}\left(x\right)$
	$={2\over\sqrt\pi}\int_x^\infty e^{-t^2}dt$

Definuje się także zespoloną funkcję błędu $w\left(x\right)$, nazywaną także funkcją Faddeeva'ego:

$w(x)=e^{-x^2}\text{erfc}\left(-ix\right)$

Najważniejsze własności i zastosowania

Funkcja błędu jest nieparzysta:

$\text{erf}\left(z\right)=-\text{erf}\left(-z\right)$

Ponadto należy zauważyć, że prawdziwe jest równanie:

$\text{erf}\left(z^*\right)=\left(\text{erf}\left(z\right)\right)^*$

gdzie $z^*$ oznacza sprzężenie zespolone liczby $z$.

Dla osi rzeczywistej funkcja błędu przyjmuje następujące granice:

$\text{erf}\left(\pm\infty\right)=\pm1$

natomiast dla osi urojonej:

$\text{erf}\left(\pm i\infty\right)=\pm i\infty$

Funkcja błędu jest ściśle związana z rozkładem normalnym Gaussa. Można to zauważyć wyliczając pochodną i funkcję pierwotną funkcji błędu:

${d\over dz}\text{erf}\left(z\right)={2\over\sqrt\pi}e^{-z^2}$

$F\left(x\right)=z\,\text{erf}\left(z\right)+{e^{-z^2}\over\sqrt\pi}$

Szereg Taylora

Przez zapisanie prawej strony definicji jako szereg Taylora i całkowanie, można dowieść, że

$\text{erf}\left(x\right)$	$= \frac{2}{\sqrt{\pi}}\sum_{n=0}^\infin\frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)n!}$
	$=\frac{2}{\sqrt{\pi}} \left(x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{10}-\frac{x^7}{42}+\frac{x^9}{216}-\ \cdots\right)$

dla każdego rzeczywistego x.

Dla $|x|\ll1$, wartość funkcji błędu można wygodnie wyliczyć z rozwinięcia

$\text{erf}\left(x\right)$	$={2\over\sqrt\pi}e^{-x^2}\sum_{n=0}^\infty{2^n\over\left(2n+1\right)!!}x^{2n+1}$
	$={2\over\sqrt\pi}e^{-x^2}\left(x+{2x^3\over1\cdot3}+{4x^5\over1\cdot3\cdot5}+{8x^7\over1\cdot3\cdot5\cdot7}+\cdots\right)$

gdzie k!! oznacza silnię podwójną liczby k.

Dla $|x|\gg1$, wygodne jest następujące rozwinięcie

$\text{erf}\left(x\right)$	$=1-{e^{-x^2}\over\sqrt\pi}\sum_{n=0}^\infty{(-1)^n(2n-1)!!\over2^n}x^{-2n-1)}$
	$=1-{e^{-x^2}\over\sqrt\pi}\left({1\over x}-{1\over2x^3}+{1\cdot3\over4x^5}-{1\cdot3\cdot5\over8x^7}+\cdots\right)$

Tablica wartości

x	erf(x)	erfc(x)		x	erf(x)	erfc(x)
0.00	0.0000000	1.0000000		1.30	0.9340079	0.0659921
0.05	0.0563720	0.9436280		1.40	0.9522851	0.0477149
0.10	0.1124629	0.8875371		1.50	0.9661051	0.0338949
0.15	0.1679960	0.8320040		1.60	0.9763484	0.0236516
0.20	0.2227026	0.7772974		1.70	0.9837905	0.0162095
0.25	0.2763264	0.7236736		1.80	0.9890905	0.0109095
0.30	0.3286268	0.6713732		1.90	0.9927904	0.0072096
0.35	0.3793821	0.6206179		2.00	0.9953223	0.0046777
0.40	0.4283924	0.5716076		2.10	0.9970205	0.0029795
0.45	0.4754817	0.5245183		2.20	0.9981372	0.0018628
0.50	0.5204999	0.4795001		2.30	0.9988568	0.0011432
0.55	0.5633234	0.4366766		2.40	0.9993115	0.0006885
0.60	0.6038561	0.3961439		2.50	0.9995930	0.0004070
0.65	0.6420293	0.3579707		2.60	0.9997640	0.0002360
0.70	0.6778012	0.3221988		2.70	0.9998657	0.0001343
0.75	0.7111556	0.2888444		2.80	0.9999250	0.0000750
0.80	0.7421010	0.2578990		2.90	0.9999589	0.0000411
0.85	0.7706681	0.2293319		3.0	0.9999779	0.0000221
0.90	0.7969082	0.2030918		3.10	0.9999884	0.0000116
0.95	0.8208908	0.1791092		3.20	0.9999940	0.0000060
1.00	0.8427008	0.1572992		3.30	0.9999969	0.0000031
1.10	0.8802051	0.1197949		3.40	0.9999985	0.0000015
1.20	0.9103140	0.0896860		3.50	0.9999993	0.0000007

Zobacz też

• erf
• Rozkład normalny