Funkcja całkowalna

Funkcja całkowalna – funkcja, dla której istnieje całka w sensie danej teorii całki. Jeżeli nie jest to sprecyzowane, to najczęściej ma się na myśli funkcje całkowalne w sensie Lebesgue'a; pozostałe zwykle są odpowiednio kwalifikowane, np. funkcja całkowalna w sensie Riemanna (tzn. istnieje całka Riemanna tej funkcji), czy w sensie Henstocka-Kurzweila itp.

Całkowalność a pierwotna

Choć funkcja może mieć funkcję pierwotną (całkę nieoznaczoną), to może nie być ona całkowalna. Przykładowo funkcja

$F(x) = \sin x$

jest pierwotną funkcji

$f(x) = \cos x$

ale funkcji $f(x)$ nie uważa się za funkcję całkowalną na zbiorze liczb rzeczywistych. Może tak być nawet wtedy, gdy pierwotna ma granicę w każdym kierunku, jak np.

$F(x) = \frac{\sin x}{x}$ dla $x \geqslant 1,$

której pochodna

$f(x) = \frac{\cos x}{x} - \frac{\sin x}{x^2}$

nie jest całkowalna na przedziale $[1, \infty).$ Jest prawdą nawet, gdy przedział całkowania nie jest nieskończony; przykładem może być pierwotna

$F(x) = x \sin \tfrac{1}{x}$ dla $0 < x \leqslant 1,$

której pochodna

$f(x) = \sin \tfrac{1}{x} - \frac{\cos \tfrac{1}{x}}{x}$

nie jest całkowalna w przedziale $[0, 1].$ Jest tak, ponieważ po przypisaniu jakiejkolwiek wartości $f$ w zerze, będzie ona tam nieciągła. Z tego powodu $F'(0)$ nie jest określone, dlatego niemożliwe jest zastosowanie podstawowego twierdzenia rachunku całkowego na przedziale $[0, 1].$

Całkowalność w sensie Lebesgue'a

Dla danego zbioru $X$ z określoną na nim σ-algebrą $\mathfrak M$ i miarą $\mu$ określoną na $\mathfrak M$ rzeczywista funkcja $f\colon X \to \mathbb R$ jest całkowalna, jeżeli tak jej część dodatnia $f^+ = \max(f, 0),$ jak i ujemna $f^- = \max(-f, 0)$ są funkcjami mierzalnymi o skończonej całce Lebesgue'a. Jest to równoważne temu, by skończona była całka z funkcji $|f| = f^+ + f^-.$ Wówczas całkę Lebesgue'a funkcji $f$ definiuje się wówczas wzorem

$\int f := \int f^+ - \int f^-.$

Czasami funkcję całkowalną w powyższym sensie nazywa się sumowalną, zaś termin „funkcja całkowalna” zarezerwowany jest dla funkcji $f,$ dla której skończona jest choć jedna z całek po prawej stronie powyższego wzoru.

Dla liczby rzeczywistej $p \geqslant 0$ funkcję $f$ nazywa się $p$-sumowalną, jeżeli sumowalna jest funkcja $|f|^p.$ Wielu autorów stosuje jednak to nazewnictwo tylko wtedy, gdy $f$ jest ciągiem, a $\mu$ jest dyskretna; w przypadku ogólnym nazywając $f$ funkcją $p$-całkowalną. Dla $p = 1$ mówi się czasem, że $f$ jest bezwzględnie sumowalna/całkowalna.

Przestrzenie L^p funkcji całkowalnych w sensie Lebesgue'a w p-tej potędze są jednym z głównych obiektów badań analizy funkcjonalnej.

Całkowalność z kwadratem

Funkcja zmiennej rzeczywistej bądź zespolonej o wartościach rzeczywistych lub zespolonych jest całkowalna z kwadratem na przedziale, jeżeli całka kwadratu jej wartości bezwzględnej/modułu jest skończona. Zbiór wszystkich funkcji mierzalnych całkowalnych z kwadratem, w sensie Lebesgue'a, stanowi przestrzeń liniową, która jest przestrzenią Hilberta – jest to tzw. przestrzeń L², w której funkcje równe prawie wszędzie są ze sobą utożsamiane (formalnie L² jest przestrzenią ilorazową przestrzeni funkcji całkowalnych z kwadratem przez podprzestrzeń funkcji, które znikają prawie wszędzie).

Funkcje tego rodzaju są szczególnie użyteczne w mechanice kwantowej, ponieważ funkcje falowe muszą być całkowalne z kwadratem na całej przestrzeni, aby teoria dawała sensowne fizycznie rozwiązania.