Funkcja częściowa

Przykład funkcji częściowej.

Jedno z przedłużeń funkcji częściowej z poprzedniej ilustracji.

W matematyce, funkcją częściową z X do Y jest funkcja ƒ: X' → Y, gdzie X' jest podzbiorem  X.

Funkcję częściową z X do Y oznacza się $f \colon X \nrightarrow Y$.

Jest to uogólnienie pojęcia funkcji polegające na tym, że nie wymaga się, aby f odwzorowywało każdy element zbioru X na element zbioru Y (lecz elementy pewnego podzbioru X' zbioru X). Jeśli X' = X, to ƒ nazywa się po prostu funkcją. Funkcje częściowe są często używane wtedy, gdy dokładna dziedzina funkcji, X' , nie jest znana.

Dla funkcji częściowej f dla każdego elementu x ∈ X, albo:

• ƒ(x) = y ∈ Y (y jest jedynym takim elementem Y) albo
• ƒ(x) jest niezdefiniowana.

Jeśli dla funkcji częściowej f istnieje taka funkcja g: X → Y, że dla każdego elementu x zbioru X' zachodzi równość f(x) = g(x), to funkcję g nazywamy przedłużeniem funkcji f. Mówimy wtedy, że funkcja f jest funkcją częściową funkcji g. Funkcję częściową f funkcji g oznaczamy wtedy symbolem g | X'.

Dziedzina funkcji częściowej

Są obecnie dwa poglądy na dziedzinę funkcji częściowej. Większość matematyków, włączając w to specjalistów od teorii rekursji, używa zwrotu dziedzina f dla zbioru wszystkich wartości x, dla których f(x) jest zdefiniowana ( X' w definicji powyżej). Lecz część matematyków, w szczególności ci specjalizujący się w teorii kategorii, uważa za dziedzinę funkcji częściowej f:X'→Y zbiór X, i nazywa zbiór X' dziedziną definicji.

Własności

• Jeśli f jest funkcją częściową funkcji g, to $f \subset g$ (jako podzbiory $X \times Y$).
• Każdą funkcję częściową f można przedłużyć do pewnej funkcji g, na ogół na wiele sposobów. Ustalmy na przykład element y₀ zbioru Y i przyjmijmy:

$g(x) = \begin{cases} f(x), & \text{gdy } x \in X' \\ y_0, & \text{gdy } x \in X \setminus X' \end{cases}$

• Funkcja częściowa jest nazywana injekcją lub surjekcją, gdy istnieje jej przedłużenie do funkcji, która jest odpowiednio injekcją lub surjekcją. Funkcje częściowe mogą być jednocześnie injektywne i surjektywne, ale pojęcie bijekcji stosuje się tylko do funkcji.
• Injektywna funkcja ma odwrotność, która jest funkcją częściową injektywną.
• Odwrotność funkcji częściowej, która jest jednocześnie injekcją i surjekcją jest funkcją injektywną..

Przykłady

• Rozpatrzmy pierwiastek kwadratowy ograniczony do liczb całkowitych

$g\colon \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$

$g(n) = \sqrt{n}$

Wtedy g(n) jest zdefiniowana dla tych liczb n, które są dokładnymi pierwiastkami (tzn. 0, 1, 4, 9, 16, ...). Dlatego g(25) = 5, lecz g(26) jest niezdefiniowana.

• Logarytm zmiennej zespolonej z jest funkcją częściową $w = \ln z \colon \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ o dziedzinie $\{z = r e^{i \varphi} \colon \; r > 0, -\pi < \varphi < \pi\}$, czyli płaszczyźnie zespolonej pozbawionej liczb rzeczywistych niedodatnich.

Bibliografia

• Kuratowski K., Mostowski A.: Teoria mnogości wraz ze wstępem do opisowej teorii mnogości. Warszawa: PWN, 1978. 
• Szabat B.: Wstęp do analizy zespolonej. Cz. 1. Funkcje jednej zmiennej. Moskwa: Nauka, 1985.  (ros.)