Funkcja Γ

Wykres funkcji gamma

Funkcja gamma (zwana też gammą Eulera, funkcją-siekierką) — jedna z funkcji specjalnych, która rozszerza pojęcie silni na zbiór liczb rzeczywistych i zespolonych. Gdy część rzeczywista liczby zespolonej z jest dodatnia, to całka (całka Eulera):

$\Gamma(z) = \int\limits_0^{+\infty} t^{z-1}\,e^{-t}\,dt$

jest zbieżna bezwzględnie. Całkując przez części można pokazać, że:

$\Gamma(z+1)=z\cdot\Gamma(z).$

Zważywszy na to, iż Γ(1)=1, z powyższego wzoru wynika, że Γ(n+1)=n! dla wszystkich liczb naturalnych n.

Drugim sposobem określenia funkcji Γ (dla dowolnych liczb zespolonych) jest:

$\Gamma(z) = \lim_{n\rightarrow +\infty}{{n!n^z}\over{z(z+1)(z+2) \ldots (z+n)}}= \frac{1}{z} \prod_{n=1}^\infty \frac{\left(1+\frac{1}{n}\right)^z}{1+\frac{z}{n}}$

Możemy także określić odwrotność funkcji Gamma następująco (γ to stała Eulera-Mascheroniego):

$\frac{1}{\Gamma (z)}=ze^{\gamma z}\prod_{n=1}^\infty \left[\left(1+\frac{z}{n}\right)e^{-\frac{z}{n}}\right]$

Funkcja gamma nie ma miejsc zerowych.

Jest nieciągła w każdym punkcie całkowitym niedodatnim, przyjmując w tych punktach za granice lewostronne i prawostronne przeciwne nieskończoności.

Własności funkcji Gamma

$\Gamma (z+1)=z\cdot \Gamma (z)$

$\Gamma (z)\cdot \Gamma (z+ \frac{1}{2}) =\frac{\sqrt{\pi }}{2^{2\cdot z\ -1}}\cdot \Gamma (2\cdot z)$

Następujące dwa wzory zachodzą, jeśli mianownik jest niezerowy:

$\Gamma (z)\cdot \Gamma (1-z) =\frac{\pi }{\sin{\pi z}}$

$\Gamma (z+\frac{1}{2})\cdot \Gamma (\frac{1}{2}-z) =\frac{\pi }{\cos{\pi z}}$

Jeśli $-1<Re(z)<1$, to:

$\Gamma (z)=\frac{1}{\sin{\frac{\pi}{2}z}}\int_0^\infty t^{z-1}\sin{t}dt$

Jeśli $0<Re(z)<1$, to:

$\Gamma (z)=\frac{1}{\cos{\frac{\pi}{2}z}}\int_0^\infty t^{z-1}\cos{t}dt$

Wzór iloczynowy Gaussa:

$\Gamma (nz)=\frac{n^{nz}}{\sqrt{(2\pi)^{n-1}}}\Gamma(z)\Gamma(z+\frac{1}{n})\Gamma(z+\frac{2}{n})\ldots\Gamma(z+\frac{n-1}{n})$

Dla n całkowitych, dodatnich zachodzi:

$\Gamma (n)\ =\ (n-1)!$

$\Gamma (n+\frac{1}{2})=\frac{(2n-1)!!}{2^n}\sqrt{\pi}$

$\Gamma(n+1/p) = \Gamma(1/p) \frac{(pn-(p-1))!^{(p)}}{p^n}$

gdzie $x!^{(p)}$ oznacza tzw. silnię wielokrotną p-tą.

Wykres funkcji zespolonej

Technika kolorowania dziedziny

Kompletny wykres

Moduł

Argument

Część rzeczywista

Część urojona

Wykres funkcji zespolonej $\Gamma(z)$ uzyskany techniką kolorowania dziedziny

Rzut przestrzenny modułu kolorowany argumentem

Oś x - część rzeczywista, oś y - część urojona, oś z - moduł wyniku, kolor - argument wyniku

Wybrane wartości funkcji Gamma

$\begin{array}{lll} \Gamma(-2) &- & \\ \Gamma(-3/2) &= \frac {4\sqrt{\pi}} {3} &\approx 2.363271801 \\ \Gamma(-1) &- & \\ \Gamma(-1/2) &= -2\sqrt{\pi} &\approx -3.544907702 \\ \Gamma(0) &- & \\ \Gamma(1/7) & &\approx 6.548062940 \\ \Gamma(1/6) & &\approx 5.566316002 \\ \Gamma(1/5) & &\approx 4.590843712 \\ \Gamma(1/4) & &\approx 3.625609908 \\ \Gamma(1/3) & &\approx 2.678938535 \\ \Gamma(1/2) &= \sqrt{\pi} &\approx 1.772453851 \\ \Gamma(1) &= 0! &= 1 \\ \Gamma(x_{min}) & &= 0.885603194 \\ \Gamma(3/2) &= \frac {\sqrt{\pi}} {2} &\approx 0.886226925 \\ \Gamma(2) &= 1! &= 1 \\ \Gamma(5/2) &= \frac {3 \sqrt{\pi}} {4} &\approx 1.329340388 \\ \Gamma(3) &= 2! &= 2 \\ \Gamma(7/2) &= \frac {15\sqrt{\pi}} {8} &\approx 3.323350970 \\ \Gamma(4) &= 3! &= 6 \\ \end{array}$

$x_{min}$ jest to taki argument funkcji Γ, gdzie przyjmuje ona minimum lokalne dla x > 0, $x_{min}\approx 1.461632145$.

Funkcja Γ(z) nie jest określona dla z = 0, -1, -2, ... (ma tam bieguny o residuum $(-1)^n/n!$).

Logarytmiczna pochodna funkcji gamma

Wykres logarytmicznej pochodnej funkcji gamma

Można zdefiniować funkcję $\psi(z)$, którą nazywamy logarytmiczną pochodną funkcji gamma albo funkcją digamma:

$\psi(z)=\frac{\Gamma'(z)}{\Gamma(z)}$

gdzie $z\neq 0,-1,-2,\dots$. Zachodzą relacje ($\gamma$ - stała Eulera-Mascheroniego):

$\psi(z)=-\gamma+\sum_{n=0}^\infty \left(\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+z}\right)$

$\psi'(z)=\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{\left(z+k\right)^2}$

Ponadto dla dużych x można używać przybliżenia:

$\psi(x)\approx \ln x-\frac{1}{2x}$

Funkcja poligamma

Definiuje się także funkcję:

$\psi^{(n)}(z)=\frac{d^n\psi(z)}{dz^n}=\left(\frac{d}{dz}\right)^{n+1}\ln\Gamma(z)$

którą nazywamy funkcją poligamma n-tego rzędu. Wtedy funkcję digamma można zdefiniować w następujący sposób:

$\psi(z)=\psi^{(0)}(z).$

Funkcję $\psi^{(1)}$ nazywa się czasem funkcją trigamma lub trójgamma.

Funkcja $\ln\Gamma(z)$ i kilka pierwszych funkcji poligamma na płaszczyźnie zespolonej

$\ln\Gamma(z)$

$\psi^{(0)}(z)$ (digamma)

$\psi^{(1)}(z)$ (trigamma)

$\psi^{(2)}(z)$

$\psi^{(4)}(z)$

Wykresy funkcji zespolonej uzyskane techniką kolorowania dziedziny

Zobacz też

• funkcja beta

Linki zewnętrzne

• Wykres modułu z funkcji Gamma w zespolonych