Funkcja homograficzna

Funkcja homograficzna (homografia) – funkcja wymierna postaci

$f(x)=\frac{ax+b}{cx+d}$

W literaturze spotyka się następujące dodatkowe warunki:

1. $ad-bc\ne 0\;$ (w przeciwnym wypadku $f(x)\;$ redukuje się do funkcji stałej)
2. $c\ne 0$

O ile warunek 1 jest umieszczany w definicji przez większość źródeł, to warunek 2 nie zawsze jest uwzględniany. Nie zaliczając bowiem funkcji liniowych do homografii traci się własności zbioru homografii jako grupy. Część źródeł podaje także ten warunek, część definiuje homografię bez niego, jedno źródło podaje zarówno definicję z obydwoma powyższymi warunkami, jak i bez nich, niekiedy stosowany jest tylko warunek 2.

Współczynniki $a,b,c,d \,$ i zmienna $x\,$ mogą być liczbami rzeczywistymi, zespolonymi lub ogólniej – mogą być elementami dowolnego ciała.

Dziedzina i zbiór wartości

Wprost z definicji wynika, że funkcja homograficzna $f(x)=\frac{ax+b}{cx+d}$ gdzie $c \ne 0 \,$ jest określona dla $x\ne -\frac{d}{c}$, oraz że funkcji ta nigdy nie osiąga wartości $\frac{a}{c}$.

Często jednak dla wygody i spójności rozważań o konkretnej funkcji homograficznej uzupełnia się dziedzinę i przeciwdziedzinę o pewien element $\infty$ spełniający:

Dla $c=0 \quad f(\infty) = \infty,\quad x\ne \infty\Rightarrow f(x)\ne \infty$

Dla $c\ne0 \quad f(\infty) = \frac{a}{c}, \quad f(-\frac{d}{c})=\infty$

Dzięki temu homografia $f$ staje się wzajemnie jednoznaczną funkcją $f:K\cup\{\infty\}\rightarrow K\cup\{\infty\}$

Topologia dwóch szczególnych ciał tj. ciała liczb rzeczywistych R i ciała liczb zespolonych C powoduje, że po dołączenie tego elementu pierwszy ze zbiorów domyka się do okręgu, drugi do sfery.

Różnowartościowość homografii

Homografia z warunkiem $ad - bc \ne 0$ jest funkcją różnowartościową niezależnie od ciała, w którym jest określona.

Istotnie, jeśli $f(x_1)=f(x_2)\,$ czyli $\frac{ax_1+b}{cx_1+d} = \frac{ax_2+b}{cx_2+d}$

to $(ax_1+b)(cx_2+d) = (ax_2+b)(cx_1+d)\,$

Po rozpisaniu obu stron, redukcji i zwinięciu wyrażenia dostajemy

$(ad-bc)(x_1-x_2) = 0 \,$

a ponieważ $ad - bc \ne 0$

więc $x_1=x_2\,$

Grupowe własności funkcji homograficznej

Zbiór wszystkich funkcji homograficznych określonych w danym ciele (włączając przypadek $c=0\;$) tworzy grupę ze względu na składanie.

Rzeczywiście, jeśli $g(x)=\frac{a_1x+b_1}{c_1x+d_1},\quad f(x)=\frac{ax+b}{cx+d}$

gdzie $a_1d_1-b_1c_1 \ne 0,\quad ad-bc \ne 0$

to $(g\circ f)(x)=g(f(x))=\frac{(a_1a+b_1c)x+a_1b+b_1d}{(c_1a+d_1c)x+c_1b+d_1d}$

gdzie $(a_1a+b_1c) (c_1b+d_1d) - (a_1b+b_1d)(c_1a+d_1c) = (a_1d_1-b_1c_1)(ad-bc) \ne 0$.

Czyli $g\circ f$ też jest homografią.

Oczywiście homografia $f(x)=x\,$ jest jednością (elementem neutralnym) tej grupy.

Ponadto łatwo można sprawdzić, że dla homografii $f(x)=\frac{ax+b}{cx+d}$ elementem odwrotnym jest homografia $f^{-1}(x)=\frac{dx-b}{-cx+a}$.

Oznaczmy przez $M_f = \begin{pmatrix} a&b\\ c&d\\ \end{pmatrix}$ macierz złożoną ze współczynników homografii $f(x)=\frac{ax+b}{cx+d}$

Zauważmy, że warunek dla współczynników $ad-bc \ne 0$ oznacza, iż $M_f \,$ jest macierzą nieosobliwą.

Zauważmy też, że współczynniki złożenia $g\circ f$ są elementami iloczynu macierzy $M_g\cdot M_f$

Można to symbolicznie zapisać

$M_{g\circ f} = M_g\cdot M_f$

Oznacza to, że grupę homografii nad pewnym ciałem można zanurzyć w grupie nieosobliwych macierzy $2\times 2$ nad tym samym ciałem.

Możliwość skracania/rozszerzania ułamka definiującego homografię utrudnia ustalenie izomorfizmu - jednej homografii odpowiada cała klasa macierzy "proporcjonalnych" do siebie. Dla niektórych ciał znalezienie izomorfizmu jest jednak dość proste - dla ciała R wystarczy ograniczyć się do grupy macierzy o wyznaczniku równym 1 lub -1, natomiast dla ciała C wystarczy grupa macierzy o wyznaczniku 1.

Rozkład homografii

Dla homografii, dla której $c\ne 0$ dostajemy

$f(x)=\frac{ax+b}{cx+d}= \frac{bc-ad}{c^2}\cdot\frac{1}{x+\frac{d}{c}}+\frac{a}{c}$

Jest więc ona złożeniem kolejno następujących funkcji:

Translacja: $f(z)=z+\frac{d}{c}$

Inwersja: $f(z)=\frac{1}{z}$

Jednokładność: $f(z)=\frac{bc-ad}{c^2}\cdot z$

Translacja: $f(z)=z+\frac{a}{c}$

Jeśli zaś c=0 to natychmiast widać, że homografia jako przekształcenie liniowe jest złożeniem dwóch funkcji:

Jednokładność: $f(z)=\frac{a}{d}\cdot z$

Translacja: $f(z)=z+\frac{b}{d}$

W języku macierzowym oznacza to, że każda macierz $2 \times 2$ może być przedstawiona jako iloczyn macierzy postaci

$\begin{pmatrix} 1&a\\0&1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} a&0\\0&1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0&1\\1&0 \end{pmatrix}$

Weźmy dwie dowolne homografie:

$f(x)=\frac{ax+b}{cx+d},\quad g(x)=\frac{a'x+b'}{c'x+d'}$

gdzie c,c' ≠ 0.

Wówczas oznaczając D = ad-bc, D' = a'd'-b'c' dostaniemy:

$f(x)=\frac{ax+b}{cx+d}= \frac{c'^2D}{c^2D'}\cdot\frac{a'(x+\frac{d}{c}-\frac{d'}{c'})+b'}{c'(x+\frac{d}{c}-\frac{d'}{c'})+d'}-\frac{a'c'D}{c^2D'}+\frac{a}{c} = \frac{c'^2D}{c^2D'}\cdot g(x+\frac{d}{c}-\frac{d'}{c'})-\frac{a'c'D}{c^2D'}+\frac{a}{c}$

czyli

$f(x) = (h_2\circ g \circ h_1) (x)$

gdzie h₂, h₁ są liniowymi funkcjami:

$h_2(x)=\frac{c'^2D}{c^2D'}\cdot x-\frac{a'c'D}{c^2D'}+\frac{a}{c}$

$h_1(x)=x+\frac{d}{c}-\frac{d'}{c'}$

Jedną homografię można więc otrzymać z innej przemnażając (w sensie składania) lewostronnie i prawostronnie przez pewne funkcje liniowe. Przydaje się to przy budowaniu i analizowaniu wykresów.

Funkcja homograficzna jako przekształcenie rzutowe prostej

Dowolne niezdegenerowane przekształcenie liniowe przestrzeni 2–wymiarowej nad dowolnym ciałem ma postać:

$y_1 = ax_1 +bx_2\,$

$y_2 = cx_1+dx_2\,$

Gdzie $ad-bd\ne 0\,$ oraz $x_i, y_i\,$ są współrzędnymi odpowiednich wektorów w ustalonej bazie.

Istnieje odpowiedniość wzajemnie jednoznaczna między zbiorem podprzestrzeni 1-wymiarowych w 2-wymiarowej przestrzeni liniowej a zbiorem punktów na prostej rzutowej (tak buduje się jeden z modeli dla geometrii rzutowej). Stąd wystarczy potraktować współrzędne wektorów w jakiejkolwiek bazie jako zapis współrzędnych punktów rzutowych w układzie współrzędnych jednorodnych.

Ponieważ

$\frac {y_1}{y_2} = \frac{ax_1+bx_2}{cx_1+dx_2} = \frac {a\frac{x_1}{x_2}+b}{c\frac{x_1}{x_2}+d}$

więc przechodząc od współrzędnych jednorodnych do zwykłych (tj. rzutowych) $x:=\frac{x_1}{x_2},\quad y:=\frac{y_1}{y_2}$ dostaniemy:

$y = \frac {ax+b}{cx+d}$

Czyli dostaniemy funkcję homograficzną w pewnym układzie współrzędnych rzutowych. Oznacza to, że homografia jest analityczną postacią przekształcenia rzutowego prostej rzutowej na siebie. Zauważmy jeszcze, że jeśli w tym układzie współrzędnych przyjmiemy c=0, to wyróżnimy grupę przekształceń afinicznych prostej rzutowej na siebie. Nie możemy jednak wyróżnić podobieństw i izometrii nie mając określonego iloczynu skalarnego.

Homografia jako funkcja zmiennej rzeczywistej

Rozważając homografie jako funkcje zmiennej rzeczywistej wymagamy, aby współczynniki $a,b,c,d$ były liczbami rzeczywistymi.

Wykres

Rysunek pokazuje wykres typowej homografii. Szare linie symbolizują asymptoty wykresu.

Wykres funkcji homograficznej jest przesunięciem równoległym pewnej hiperboli; posiada on dwie asymptoty:

pionową $x= \frac{- d}{c}$  i   poziomą $y= \frac{a}{c}$.

Punkt $S= \left(\frac{-d}{c} ; \frac{a}{c}\right)$ to środek symetrii tego wykresu. Funkcja homograficzna jest monotoniczna na każdym z przedziałów $(-\infty,-\frac{d}{c})$ oraz $(-\frac{d}{c},\infty)$. Jest ona

• przedziałami malejąca gdy $ad - bc < 0$ oraz
• przedziałami rosnąca $ad - bc > 0$.

Przesunięcie wykresu hiperboli

Wykażmy, że wykres funkcji homograficznej $f(x) = \frac{ax+b}{cx+d}$, gdzie $c \neq 0$ oraz $ad - bc \neq 0$ powstaje w wyniku przesunięcia równoległego wykresu pewnej hiperboli o pewien wektor. Zauważmy w tym celu, że dla wszystkich $x$ mamy

$\frac{ax+b}{cx+d} =\frac{a}{c}-\frac{ad-bc}{c^2x+cd} = \frac{bc-ad}{c^2(x+\frac{d}{c})}+\frac{a}{c}$.

Zatem wykres funkcji $f$ powstaje w wyniku translacji hiperboli o równaniu

$y=\frac{bc-ad}{c^2x}$

o wektor $\vec{u}=[-\frac{d}{c}, \frac{a}{c}]$

Homografia jako funkcja zmiennej zespolonej

Homografia określona w ciele liczb zespolonych C jest funkcją holomorficzną.

Użycie ciała C do wprowadzenia układu współrzędnych na płaszczyźnie (w uproszczeniu: $C \equiv R^2$) dostarcza nowych faktów geometrycznych – homografia okazuje się być wówczas odwzorowaniem konforemnym czyli równokątnym odwzorowaniem płaszczyzny na siebie (dotyczy to zresztą wszystkich funkcji holomorficznych w punktach, w których pochodna nie zeruje się).

Homografia wyróżnia się jeszcze jedną ciekawą własnością geometryczną - jest funkcją $C\cup\{\infty\}\rightarrow C\cup\{\infty\}$ zachowującą okręgi tzn. obrazem okręgu jest okrąg (za okręgi uznajemy także proste). W szczególności taką własność ma inwersja zespolona $f(z)=\frac {1}{z}$. Geometrycznie zdefiniowaną inwersję otrzymujemy składając inwersję zespoloną ze sprzężeniem, czyli stosując funkcję $f(z)=\frac {1}{\bar z}$.

Homografia określona w ciele C nazywana jest także odwzorowaniem Möbiusa.

Linki zewnętrzne

• Douglas N. Arnold, Jonathan Rogness (University of Minnesota): Moebius Transformations Revealed (ang.). [dostęp 1 maja 2009]. – animacja pokazująca przekształcenie Möbiusa generowane przez funkcję homograficzną w dziedzinie zespolonej