Funkcja jednostajnie ciągła

Jednostajna ciągłość jest własnością pewnej klasy funkcji, określonych między przestrzeniami metrycznymi.

Definicja

Niech $(X,\varrho), (Y, \sigma)$ będą przestrzeniami metrycznymi. Mówimy, że $f \colon X \longrightarrow Y$ jest jednostajnie ciągła, jeśli

$\forall_{\varepsilon>0} \exists_{\delta>0} \forall_{x, y \in X}$$\left[ \varrho(x,y) < \delta \Rightarrow \sigma(f(x),f(y))<\varepsilon \right].$

Twierdzenia

• Każda funkcja jednostajnie ciągła jest ciągła.
• Jeśli $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ jest ciągiem Cauchy'ego elementów $X$ oraz $f$ jest jednostajnie ciągła, to ciąg $(f(x_n))_{n\in\mathbb{N}}$ jest również ciągiem Cauchy'ego.
• Jeśli funkcja spełnia warunek Lipschitza, to jest jednostajnie ciągła.
• Twierdzenie Heinego–Cantora: Każda funkcja ciągła na przestrzeni zwartej jest jednostajnie ciągła.
• W szczególności, każda funkcja określona i ciągła na przedziale domkniętym $[a,b]$ jest jednostajnie ciągła. Na przedziale otwartym już tak nie musi być, na przykład funkcja $y = {1\over x}$ na przedziale $(0,\,1)$ jest ciągła, ale nie jest jednostajnie ciągła. Jeśli jednak granice funkcji na otwartych końcach przedziału istnieją, to na takim przedziale funkcja również będzie jednostajnie ciągła.

Uogólnienie na przestrzenie liniowo-topologiczne

Niech $U,V$ będą przestrzeniami liniowo-topologicznymi. Mówimy, że odzworowanie $f\colon U\longrightarrow V$ jest jednostajnie ciągłe, jeśli dla każdego otoczenia $B$ zera przestrzeni $V$ istnieje otoczenie $A$ zera przestrzeni $U$ takie, że dla każdych $v_1,v_2\in A$

$v_1-v_2\in A \Rightarrow f(v_1)-f(v_2)\in B.$

Zobacz też

• ciągłość funkcji
• warunek Lipschitza