Funkcja kwadratowa

$\scriptstyle f(x) = x^2 - x - 2$

Funkcja kwadratowa – funkcja wielomianowa drugiego stopnia, tzn. postaci

$f(x) = ax^2 + bx + c$,

gdzie $a, b, c$ są pewnymi stałymi, przy czym $a \neq 0$ (co gwarantuje, że funkcja kwadratowa nie degeneruje się do przypadku funkcji liniowej; to założenie będzie obowiązywać w całym artykule). Funkcja kwadratowa realizuje pewien wielomian (drugiego stopnia), z tego powodu nazywa się ją czasami trójmianem kwadratowym.

Ze względu na porządne własności edukacja szkolna obejmuje najczęściej funkcje kwadratowe o rzeczywistych dziedzinie, przeciwdziedzinie oraz współczynnikach.

Postacie

O funkcji kwadratowej danej wzorem

$f(x) = ax^2 + bx + c$,

gdzie $a, b, c$ są ustalonymi liczbami rzeczywistymi, mówi się, że jest w postaci ogólnej lub wielomianowej. Skoro

$\begin{align} ax^2 + bx + c & = ax^2 + bx + \tfrac{b^2}{4a} - \tfrac{b^2}{4a} + c = \\ & = a\left(x^2 + 2x\tfrac{b}{2a} + \tfrac{b^2}{4a^2}\right) - \tfrac{b^2}{4a} + \tfrac{4ac}{4a} = \\ & = a\left(x + \tfrac{b}{2a}\right)^2 - \tfrac{b^2 - 4ac}{4a}, \end{align}$

to funkcję kwadratową można przedstawić również wzorem

$f(x) = a(x - p)^2 + q$,

gdzie $p = - \tfrac{b}{2a}$, zaś $q = - \tfrac{b^2 - 4ac}{4a}$. Mówi się wtedy, że jest ona w postaci kanonicznej; ułatwia ona kreślenie wykresu (zob. wykres). Wyrażenie

$\Delta = b^2 - 4ac$

nazywa się wyróżnikiem funkcji kwadratowej $f$. Ponieważ

$\begin{align} f(x) & = a(x - \tfrac{-b}{2a})^2 - \tfrac{\Delta}{4a} = \\ & = a(x - \tfrac{-b}{2a})^2 - a\tfrac{\Delta}{4a^2} = \\ & = a\left[(x - \tfrac{-b}{2a})^2 - \tfrac{\Delta}{4a^2}\right] = \\ & = a\left(x - \tfrac{-b}{2a} - \tfrac{\sqrt\Delta}{2a}\right)\left(x - \tfrac{-b}{2a} + \tfrac{\sqrt\Delta}{2a}\right), \end{align}$

o ile tylko wyróżnik $\Delta$ jest nieujemny (istnieje jego rzeczywisty pierwiastek), to funkcję wielomianową $f$ daje się przedstawić w postaci iloczynowej, która ułatwia odczytanie jej miejsc zerowych (zob. miejsca zerowe):

$f(x) = a\left(x - \tfrac{-b + \sqrt\Delta}{2a}\right)\left(x - \tfrac{-b - \sqrt\Delta}{2a}\right)$.

Przedstawienie takie jest zawsze możliwe w dziedzinie zespolonej: jeżeli $\Delta < 0$, to

$\sqrt\Delta = i\sqrt{4ac - b^2}$,

gdzie $i$ jest jednostką urojoną.

Miejsca zerowe

• Oznaczając wyżej

  $x_1 = \tfrac{-b - \sqrt\Delta}{2a}$ oraz $x_2 = \tfrac{-b + \sqrt\Delta}{2a}$

otrzymuje się wzór

$f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)$,

gdzie $x_1, x_2$ są miejscami zerowymi funkcji kwadratowej dla $\Delta > 0$.

• Jeżeli $\Delta = 0$, to $x_1 = x_2 = p = \tfrac{-b}{2a}$ i funkcja kwadratowa ma jedno miejsce zerowe (któremu odpowiada dwukrotny pierwiastek wielomianu przez nią realizowanego; w związku z tym często mówi się wtedy nieprecyzyjnie, że miejsce zerowe jest podwójne), czyli można ją zapisać wzorem

  $f(x) = a(x - p)^2$.

• Funkcja kwadratowa nie ma miejsc zerowych w dziedzinie liczb rzeczywistych, gdy $\Delta < 0$. Nadal istnieją jednak dwa rozwiązania w liczbach zespolonych (por. zasadnicze twierdzenie algebry) dane jw. zgodnie z uwagą poczynioną w poprzedniej sekcji. Różnią się one wtedy znakiem (urojonego) wyrażenia $\sqrt\Delta$, są zatem sprzężone względem siebie.

Ze wzorów Viète'a wynika (także w dziedzinie zespolonej), iż

$\begin{cases} x_1 + x_2 = -\tfrac{b}{a}, \\ x_1 x_2 = \tfrac{c}{a}. \end{cases}$

Wykres

Funkcja kwadratowa $\scriptstyle f(x) = ax^2 + bx + c$ dla różnych wartości współczynników $\scriptstyle a, b, c.$

W kartezjańskim układzie współrzędnych na płaszczyźnie euklidesowej funkcja kwadratowa opisuje parabolę. Jej wierzchołkiem jest punkt $(p, q)$, gdzie $p, q$ są dane jw., który jest zarazem ekstremum funkcji kwadratowej. Ich zmiana powoduje więc przesunięcie wykresu o wektor $[p, q]$ względem początku układu współrzędnych.

Z definicji miejsca zerowego funkcji kwadratowej wynika, że są one punktami przecięcia wykresu paraboli z osią $OX$ układu. W szczególności $p = \tfrac{x_1 + x_2}{2}$, co oznacza, że odcięta wierzchołka paraboli jest średnią arytmetyczną miejsc zerowych (o ile istnieje choć jedno).

We wspomnianym układzie, przy zachowaniu skali:

• $a > 0$ daje, iż ramiona paraboli są skierowane zgodnie ze zwrotem osi $OY$, jeżeli $a < 0$, to są one skierowane przeciwnie;
• zwiększanie $|a|$ sprawia, że wykres wydaje się bardziej „strzelisty”, jego zmniejszanie czyni wtedy wykres bardziej „rozłożystym”;
• zmiana $b$ powoduje zachowanie punktu przecięcia z osią $OY$ przy jednoczesnym przesuwaniu paraboli zgodnie ze zwrotem $OX$, jeżeli $b < 0$ i przeciwnie do niego, jeżeli $b > 0$;
• parametr $c$ odpowiada za przesunięcie wykresu wzdłuż $OY$ zgodnie z jej zwrotem, gdy $c > 0$ i przeciwnie do niego, gdy $c < 0$.

Własności i przebieg zmienności

Niżej zakłada się, iż $f\colon \mathbb R \to \mathbb R,\; f(x)=ax^2 + bx + c$:

dziedzina i przeciwdziedzina 

określona wszędzie; zbiorami wartości są przedział $[q, \infty)$ dla $a > 0$ i przedział $(-\infty, q]$ dla $a < 0$;

monotoniczność 

maleje (rośnie) w przedziale $(-\infty, p]$, po czym rośnie (maleje) w przedziale $[p, \infty)$ dla $a > 0\; (a < 0)$;

ciągłość, różniczkowalność, całkowalność 

w całej dziedzinie, funkcja gładka; całkowalna w sensie Riemanna, Lebesgue'a itd.

pochodne

$f^\prime(x) = 2ax + b$,

$f^{\prime\prime}(x) = 2a$,

$f^{(n)} \equiv 0$ dla $n > 2$;

pierwotna

$F(x) = \tfrac{1}{3} ax^3 + \tfrac{1}{2} bx^2 + cx + C$;

ekstrema 

jedno ekstremum globalne w punkcie $p$ (pierwsza pochodna zeruje się wyłącznie w tym punkcie): minimum dla $a > 0$ i maksimum dla $a < 0$ (zgodnie ze znakiem drugiej pochodnej);

wypukłość 

wypukła dla $a > 0$ i wklęsła dla $a < 0$ (zgodnie ze znakiem drugiej pochodnej);

parzystość i nieparzystość 

parzysta wyłącznie dla $p = 0$, nigdy nieparzysta;

okresowość, punkty przegięcia i asymptoty 

brak.

Konforemność

Funkcja kwadratowa $w(z) = z^2$, gdzie $z \in \mathbb C \setminus \{0\}$ jest odwzorowaniem równokątnym (konforemnym) przekształcającym płaszczyznę zespoloną (parametryzowaną zmienną) $z$ w dwulistną płaszczyznę (parametryzowaną zmienną) $w$. Siatka izotermicznatemperaturowa!?^{[potrzebne źródło]} $z$ składa się z dwóch rodzin hiperbol:

$\begin{cases} u = x^2 - y^2, \\ v = 2xy. \end{cases}$

Punktami stałymi tego odwzorowania są $0$ oraz $1$.

Zobacz też

• jednorodna funkcja kwadratowa
• równanie kwadratowe, równanie dwukwadratowe
• funkcja liniowa

Bibliografia

• Encyklopedia szkolna - matematyka. Warszawa: Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne, 1990, s. 313. ISBN 83-02-02551-8.