Funkcja pierwotna

Pole kierunków funkcji $f(x) = \tfrac{1}{3}x^3 - \tfrac{1}{2}x^2 - x + c,$ gdzie zaznaczono trzy z nieskończenie wielu rozwiązań, które można uzyskać poprzez uzmiennienie stałej $c.$

Funkcja pierwotna – w analizie matematycznej dla danej funkcji $f$ taka funkcja $F,$ której pochodna $F'$ jest równa $f.$ Proces wyznaczania pierwotnej nazywa się również całkowaniem (nieoznaczonym) i można go postrzegać jako działanie odwrotne do wyznaczania pochodnej. Pierwotne, poprzez podstawowe twierdzenie rachunku całkowego, związane są z całkami oznaczonymi: całka oznaczona funkcji na danym przedziale jest równa różnicy wartości pierwotnej w końcach tego przedziału.

Wzory

Jeżeli $F$ jest pierwotną funkcji $f$ określonej i ciągłej na pewnym przedziale, to każda inna pierwotna $G$ funkcji $f$ na tym przedziale różni się od $F$ o stałą: istnieje liczba $C,$ nazywana stałą całkowania, taka, że $G(x) = F(x) + C$ dla wszystkich $x.$ Jeżeli dziedzina $f$ jest sumą rozłączną dwóch lub większej liczby przedziałów, na każdym z których $f$ jest ciągła, to na każdym z tych przedziałów można wybrać inną stałą całkowania, np.

$F(x) = \begin{cases} -\frac{1}{x} + C_1, \quad x < 0, \\ -\frac{1}{x} + C_2, \quad x > 0 \end{cases}$

jest najogólniejszą pierwotną funkcji $f(x) = x^{-2}$ określonej na jej dziedzinie naturalnej $(-\infty, 0) \cup (0, \infty).$

Otóż, pierwotna funkcji $f$

$\int f(x)\; \operatorname dx = F(x) + C,$

gdzie

$F'(x) = \frac{\operatorname d}{\operatorname dx} F(x) = f(x).$

Wyrażenie $F(x) + C$ nazywa się całką nieoznaczoną (ogólną pierwotną) funkcji podcałkowej $f;$ czasami zmienną $x$ nazywa się w tym kontekście zmienną całkowania. Obecność stałej całkowania $C$ wynika z faktu, iż pochodna stałej jest zawsze równa zeru.

Symbol $\textstyle \int$ (stylizowana litera S, od łac. summa), oznaczający operację pierwotnej, został wprowadzony w 1686 roku przez niemieckiego matematyka i filozofa Gottfrieda Leibniza.

Ponieważ branie pierwotnej jest operacją odwrotną względem brania pochodnej, twierdzenia i reguły dotyczące pierwotnej uzyskuje się z reguł dotyczących pochodnej. Stąd następujące twierdzenia dowodzone są z odpowiednich twierdzeń dla pochodnej:

• podstawowa reguła całki nieoznaczonej:

  $\int dx = x + C;$

• całka nieoznaczona iloczynu funkcji i stałej jest równa stałej pomnożonej przez całkę nieoznaczoną funkcji (jednorodność):

  $\int af(x)\; \operatorname dx = a \int f(x)\; \operatorname dx;$

• jeżeli $f$ oraz $g$ określone są na tym samym przedziale, to całka nieoznaczona ich sumy jest równa sumie całek nieoznaczonych funkcji $f$ i $g$ (addytywność):

  $\int \bigl(f(x) + g(x)\bigr)\; \operatorname dx = \int f(x)\; \operatorname dx + \int g(x)\; \operatorname dx;$

• jeśli $n$ jest liczbą rzeczywistą, to

  $\int x^n\; \operatorname dx = \begin{cases} \frac{x^{n+1}}{n+1} + C & \text{dla } n \ne -1, \\[6pt] \ln |x| + C & \text{dla }n = -1. \end{cases}$

Własności i zastosowania

Całki nieoznaczone są bardzo często stosowane do obliczania całek oznaczonych. Podstawowe twierdzenie rachunku całkowego mówi, że jeżeli $F$ jest pierwotną funkcji $f,$ a $f$ jest ciągła, to

$\int\limits_a^b f(x)\; \operatorname dx = F(b) - F(a).$

Każda funkcja ciągła $f$ ma pierwotną, a jedna z nich, $F,$ dana jest za pomocą całki oznaczonej funkcji $f$ z uzmiennioną górną granicą całkowania:

$F(x) = \int_a^x f(t)\; \operatorname dt.$

Uzmiennienie dolnej granicy daje inne pierwotne (ale niekoniecznie wszystkie z nich). Jest to inne sformułowanie podstawowego twierdzenia rachunku całkowego.

Istnieje wiele funkcji, choć których pierwotne istnieją, to nie mogą być wyrażone za pomocą funkcji elementarnych (takich jak wielomiany, funkcje wymierne, funkcje wykładnicze, logarytmy, funkcje trygonometryczne, funkcje odwrotne do trygonometrycznych i ich złożenia). Przykładami mogą być

$\int e^{-x^2}\; \operatorname dx,\qquad \int \frac{\sin x}{x}\; \operatorname dx,\qquad \int\frac{1}{\ln x}\; \operatorname dx,\qquad \int x^x\; \operatorname dx.$

Metody całkowania

Całkowanie nie jest sprawą trywialną. Istnieje wprawdzie algorytm Rischa, który pozwala dla każdej funkcji elementarnej sprawdzić, czy jej całka jest funkcją elementarną i jeśli tak, znaleźć ją. Wymaga on jednak bardzo wielu obliczeń, jest więc używany tylko w programach komputerowych, wspomagających obliczenia symboliczne.

Stosuje się zatem pewne przekształcenia pozwalające sprowadzić funkcję do prostszej postaci. Niektóre z nich wymienione są poniżej.

Całkowanie przez części

Jeśli funkcje $f$ i $g$ są określone w pewnym przedziale i mają tam ciągłe pochodne, to:

$\int f^\prime(x)g(x)dx=f(x)g(x)-\int f(x)g^\prime(x)dx.$

Całkowanie przez podstawienie

Jeśli funkcja rzeczywista $f$ jest ciągła w przedziale $X$, a funkcja $g$ ma ciągłą pochodną w przedziale $T$ i jest różnowartościowym odwzorowaniem $T$ na $X$, to:

$\int f(x)\; \operatorname dx = F(x)+C$ wtedy i tylko wtedy, gdy

$\int f\bigl(g(t)\bigr)g^\prime(t)\; \operatorname dt=F(g(t))+C,$

Dlatego znając drugą całkę można porachować pierwszą, podstawiając $g^{-1}(x)$ zamiast t. Jeszcze łatwiej znając pierwszą całkę porachować drugą, podstawiając $g(t)$ zamiast x.

Stosując metodę podstawienia, można udowodnić następującą regułę, stosowanie której często upraszcza całkowanie:

jeżeli $\int f(x)dx=F(x)+C,$ to $\int f(ax+b)dx=\frac{1}{a}F(ax+b)+C.$

Całkowanie funkcji wymiernych

Każdą funkcję wymierną można rozłożyć na sumę funkcji wielomianowej i skończonej liczby ułamków, każdy z których jest albo postaci

$\frac{A}{(x-a)^n},$

albo postaci

$\frac{Bx+C}{(x^2+px+q)^n},$ gdzie $p^2-4q<0$

($n\,$ to liczba naturalna w obu przypadkach).

Ułamki pierwszego typu łatwo przecałkować stosując informacje z powyższych sekcji.

Do ułamków drugiego typu stosuje się przekształcenie:

$\int\frac{Bx+C}{(x^2+px+q)^n}dx=\frac{B}{2}\int\frac{2x+p}{(x^2+px+q)^n}dx+\left( C-\frac{Bp}{2}\right) \int\frac{1}{(x^2+px+q)^n}dx.$

W pierwszym składniku tej sumy stosuje się podstawienie $y=x^2+px+q.$

W drugim składniku stosowany jest wzór rekurencyjny:

$\int \frac{1}{(T(x))^n}dx=\begin{cases} \frac{2}\sqrt{-\Delta}\operatorname{arctg}\frac{2x+p}\sqrt{-\Delta}& \mbox{ dla } n=1, \\ \frac{1}{(1-n)\Delta}\left( \frac{2x+p}{(T(x))^{n-1}}+(4n-6)\int\frac{1}{(T(x))^{n-1}}dx\right)& \mbox{ dla } n>1, \end{cases}$

gdzie:

$T(x)=x^2+px+q,$

$\Delta=p^2-4q.$

Całkowanie niektórych innych funkcji

Każdą całkę funkcji postaci $R(\sin x,\ \cos x),$ gdzie $R$ jest funkcją wymierną, można obliczyć przez podstawienie:

$t = \operatorname{tg}\; \tfrac{x}{2}.$

Wówczas

$\operatorname dx=\tfrac{2\operatorname dt}{1+t^2},$

$\sin x=\tfrac{2t}{1+t^2},$

$\cos x=\tfrac{1-t^2}{1+t^2},$

$\operatorname{tg}\; x=\tfrac{2t}{1-t^2},$

$\operatorname{ctg}\; x=\tfrac{1-t^2}{2t},$

$\sec x=\tfrac{1+t^2}{1-t^2},$

$\csc x=\tfrac{1+t^2}{2t}.$

Funkcje postaci

$R\left( \sqrt[n]\frac{ax+b}{cx+d}\right),$

gdzie $ad-bc\ne 0,$ daje się sprowadzić do funkcji wymiernych przez podstawienie

$\sqrt[n]\frac{ax+b}{cx+d}=t,$

skąd

$x=\frac{dt^n-b}{a-ct^n}.$

Dla funkcji postaci

$R(x,\ \sqrt{ax^2+bx+c}),$

gdzie $a>0,\ \Delta=b^2-4ac\ne 0,$ stosuje się tzw. pierwsze podstawienie Eulera

$\sqrt{ax^2+bx+c}=(t-x)\sqrt{a},$

skąd

$x=\frac{at^2-c}{2at+b}.$

Natomiast w przypadku

$a<0,\ \Delta=b^2-4ac>0$

stosowane jest drugie podstawienie Eulera

$\sqrt{ax^2+bx+c}=\left( x+\frac{b}{2x}\right) t-\frac{1}{2}\sqrt\frac{\Delta}{-a},$

skąd

$x=\frac{t}{t^2-a}\sqrt\frac{\Delta}{-a}-\frac{b}{2a}.$

Linki zewnętrzne

• portal obliczający całki nieoznaczone