Funkcja różniczkowalna

Funkcja różniczkowalna – funkcja, która ma pochodną w każdym punkcie swej dziedziny.

W szczególności funkcja pochodna danej funkcji określona jest w tej samej co funkcja dziedzinie.

Funkcja n-krotnie różniczkowalna

Jeżeli funkcja f ma pochodną g w zbiorze A oraz funkcja g ma pochodną h w zbiorze $B \subset A$ to powiemy, że f jest dwukrotnie różniczkowalna w zbiorze B, oraz druga pochodna funkcji f na tym zbiorze to h. Analogicznie można zdefiniować n-tą pochodną funkcji f.

Funkcja klasy Cⁿ

Jeżeli funkcja f ma w przedziale (a,b) n pochodnych i n-ta pochodna f ⁽ⁿ⁾ jest funkcją ciągłą w (a,b) to funkcję f nazywamy funkcją klasy Cⁿ( (a,b) ). Przez funkcję klasy C⁰ rozumiemy funkcję ciągłą.

Różniczkowalność jest silną własnością, jednakże czasem wymagamy, by badane funkcje spełniały dodatkowe warunki, np. by były różniczkowalne w sposób ciągły.

Uwaga ta dotyczy funkcji zmiennej rzeczywistej – w przypadku funkcji zmiennej zespolonej różniczkowalność pociąga za sobą automatycznie analityczność.

Ważną klasę funkcji stanowi $C^{\infty}$ (C-nieskończoność) czyli różniczkowalna dowolną liczbę razy. Klasę $C^\infty$ nazywamy też klasą funkcji gładkich.

Przykłady

• Wielomiany, funkcje wykładnicze, sinus i cosinus, sinus, cosinus i tangens hiperboliczny, są funkcjami klasy $C^{\infty}(\mathbb{R})$
• funkcja f(x)=|x| jest klasy $C^{0}(\mathbb{R})$ ale nie $C^{1}(\mathbb{R})$
• funkcja dana wzorem:

$f(x) = \begin{cases} x^2\cdot \sin\left(\frac{1}{x}\right) & \mathrm{gdy\ } x \ne 0 \\ 0 & \mathrm{gdy\ } x = 0 \end{cases}$

jest różniczkowalna na całej prostej rzeczywistej ale wobec nieciągłości pochodnej w punkcie 0 jest tylko klasy $C^{0}(\mathbb{R})$

• funkcja dana wzorem:

$f(x) = \begin{cases} x^3\cdot \sin\left(\frac{1}{x}\right) & \mathrm{gdy\ } x \ne 0 \\ 0 & \mathrm{gdy\ } x = 0 \end{cases}$

jest klasy $C^{1}(\mathbb{R})$ ale nie $C^{2}(\mathbb{R}).$